Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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sábado, 30 de julio de 2016

INDECIDIBILIDAD DE LA CONJETURA DE GOLDBACH (ESBOZO)

El siguiente es un esbozo sobre la demostración de la indecidibilidad de la conjetura de Goldbach (que no sea posible demostrarla ni cierta ni falsa).

Se conforma de tres etapas de razonamiento. La primera consiste en demostrar que los números primos no pueden calcularse inductivamente (no existe fórmula para calcularlos uno a uno de manera ordenada, con base en los números naturales).

La segunda etapa consiste en relacionar el resultado anterior con los requerimientos mínimos para que la conjetura de Goldbach sea demostrada.

La tercera etapa consiste en generalizar la indecidibilidad de la conjetura observada en la segunda etapa para todos los métodos de deducción potenciales.


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Primera etapa:

Obsérvese un caso matemático usual, por ejemplo, n(i+1)=n(i)+(i+1) con n(1)=1. Con este esquema de secuencia es posible calcular n(i)=½•i•(i+1), que es la fórmula de inducción correspondiente. Esto es, que n(i) puede calcularse con una fórmula en función únicamente de i.

Si los números primos se calculan de manera suficiente (sin necesidad de otras definiciones) a partir de la criba de Eratóstenes, la determinación de n(i+1) que representa al primo i+1 depende no sólo de n(i) y una función j(i), sino también de n(i-1), n(i-2), etc. hasta n(1)=2.

Como sea un requisito fundamental para la inducción que n(i+1) sólo dependa de n(i) y una función j(i), queda demostrado que no es posible inducir los números primos, o sea, que no hay fórmula que permita calcularlos a partir sólo de su posición en el listado de primos.


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Segunda etapa:

Demostrar la conjetura de Goldbach requiere de demostrar que existe una paridad (relación biunívoca) forzosa entre al menos algún primo desde 2 hasta n y algún primo desde n hasta 2•n-1.

Esto porque todos los pares 2•n mayores a 2, son susceptibles de descomponerse en la suma de dos números, el primero entre 1 y n, y el segundo entre n y 2•n-1. Dado que para la conjetura de Goldbach sólo son relevantes los casos de pares de sumandos primos, basta para demostrarla con saber que existe siempre al menos un par de primos, uno desde 2 hasta n y otro desde n hasta 2•n-1, que coinciden haciendo en suma el número 2•n.

Para establecer dicha coincidencia se debe hallar una fórmula (si existe) para calcular los primos entre 2 y n, y otra fórmula para hallar los primos entre n y 2•n-1. Esas fórmulas, para obtener una generalización, deben basarse en la posición que representan en el listado de los primos desde 2 hasta n, y desde n hasta 2•n-1.

Esas posiciones se relacionan en una función que permita el cálculo de los pares de primos coincidentes, tales que permitan calcular, sumados, un número par.

La cuestión es que los números primos no son inducibles en forma general (casos particulares son los polinomios que calculan primos) y por ello no es posible establecer un teorema sobre las condiciones que debe cumplir el par de primos respecto a la suma 2•n.

Entonces, por esta forma de análisis del problema, la conjetura de Goldbach resultaría indecidible, es decir, que la conjetura no es demostrable por medios matemáticos ni cierta ni falsa.

Y esto es así porque en la ausencia de una regla que relacione a los primos en cuestión con 2•n no es posible asegurar si siempre habrá primos que sean sus sumandos o no.


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Tercera etapa:

La indecidibilidad es una propiedad que debe mantenerse para todos los métodos matemáticos, y no sólo para la propuesta de la etapa anterior.

Si no fuera así, se deducirían absurdos: que por unos métodos la conjetura sea, por decir, verdadera y por otros métodos indecidible. Debe quedar en todos los casos indecidible.

Así, sólo basta pensar que la Matemática es coherente en sí misma (aunque no pueda demostrarse matemáticamente) para deducir que la conjetura de Goldbach es indecidible para cualquier propuesta de razonamiento.


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Nota: Esta demostración es válida siempre y cuando las reglas parciales de inducción para los primos no puedan relacionarse "en cadena" tal que terminen formando una regla general.

Sin embargo, eso es improbable: si la conjetura es así indecidible, también resulta indecidible saber si existen reglas parciales que en conjunto formen una regla general.