Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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viernes, 14 de diciembre de 2012

SISTEMAS INCOMPLETOS DE JUSTICIA

[Esta entrada participa en la III Edición del Carnaval de Humanidades alojado por Luis Moreno Martínez en el blog El cuaderno de Calpurnia Tate.]

En un juicio, por definición general, se tienen dos sistemas formales (o formalizables) argüídos por las dos partes, es decir, la acusatoria y el acusado. Además, el propósito de todo juicio es hallar satisfacible o refutable el teorema el acusado es inocente, llamado teorema de inocencia.

Dado el teorema de Gödel (de incompletitud), ninguno de los dos sistemas puede demostrar su propia consistencia (coherencia). Esto implica que por más argumentos que den, su consistencia es siempre cuestionable. Ambos sistemas tienen demostraciones que refutan o satisfacen el teorema en cuestión. Si la consistencia de los sistemas es cuestionable, entonces también son cuestionables las demostraciones y finalmente lo es la veracidad del teorema (sea para refutarlo o para satisfacerlo).

La situación no mejora si se agrega un tercer sistema, o sea, si se pretende hacer partícipe a una agencia de investigación; ésta puede establecer su propio sistema consistente con uno o con el otro, pero el teorema de Gödel se sigue cumpliendo, así que tampoco puede demostrar su propia consistencia y continúa siendo cuestionable la veracidad del teorema de inocencia (en cuestión). Y aún más grave puede ser esto: por el teorema de incompletitud, es posible que el teorema de inocencia sea indecidible para cualquier sistema propuesto. En otras palabras, puede que la satisfacción o refutabilidad de la inocencia del acusado no sea posible demostrarla. Si el acusado es inocente, no hay problema porque existe el axioma es culpable hasta que se demuestre lo contrario. Si éste en verdad es culpable, no puede ser encarcelado, tanto por el axioma mencionado como por el axioma si es culpable, debe ser encarcelado.

Por supuesto, no se pretende con esto dudar de la funcionalidad de los sistemas de justicia. En realidad si se asume de un modo tan riguroso el planteamiento, toda la Ciencia (con la Matemática, la Física, la Química, etc.) se derrumbaría estrepitosamente a pesar de funcionar perfectamente en la actualidad. La Ciencia por su parte (y, cabe decirlo, la mayoría de los sistemas de justicia) asumen como válido, mas no verdadero en absoluto, el principio de cientificidad. Ya en De la ciencia formal se propone este principio como sigue: se tiene un fenómeno y de él se puede extraer un principio que deduce un teorema verdadero. Como se menciona en dicha formalización de la Ciencia, si efectivamente se verifica la veracidad de haber extraído el principio del fenómeno, entonces el axioma formal que le corresponde y el teorema que se deduzca son verdaderos.

Ni siquiera la Ciencia admite como verdadero en absoluto al principio de cientificidad, pero hasta el momento no existe una prueba razonable de la falsedad del mismo. Para poner a prueba este principio, se sugieren siempre propuestas experimentales en cualquiera de sus ramas. Aparte, cualquier situación en la Ciencia es susceptible del método científico que garantiza la veracidad de los principios hasta donde sus límites propuestos dan de sí. O bien, los principios y teoremas obtenidos son válidos siempre y cuando respeten la esencia del fenómeno del cual se tiene el principio (y por lo tanto verdadera la extracción del principio partiendo del fenómeno).

Cuando los sistemas de justicia se valen de este principio, la probabilidad de que la veracidad de sus argumentos sea satisfacible aumenta de un modo razonable y casi absoluto del mismo modo en que esto ocurre con la Ciencia. La Ciencia siempre está empleando el método científico (como se propone en De la ciencia formal) para corregir sus resultados. Del mismo modo los sistemas de justicia no deberían abandonar la búsqueda de su propia veracidad en ningún momento. Esto significa que todas las sentencias que se dictan deben siempre tener un seguimiento de investigación hasta donde sea posible para casi garantizar (y así poder admitir) la veracidad del teorema de inocencia para cualquier caso.

Siendo innecesariamente rigurosos, jamás podría declararse satisfacible el teorema de inocencia, pero hay un cierto grado de admisibilidad de esto si se sigue el principio de cientificidad.

7 de Enero de 2012
 
 

miércoles, 12 de diciembre de 2012

SOBRE LA INTERPRETACIÓN MATEMÁTICA DEL TEOREMA DE GÖDEL

De manera informal, pero sí precisa y puntual, es posible presentar una demostración parcial del teorema de Gödel, es decir, que sólo presenta implicaciones para la Matemática. El teorema de Gödel en realidad es totalitario, pues sus consecuencias abarcan a toda la Ciencia, misma que se basa en la lógica formal. No obstante, el método que se sigue para la Matemática es análogo al método que en Lógica se sigue para demostrar en su totalidad el teorema en cuestión.

Concretamente, se define una función f(x) que servirá para desarrollar un método inductivo y así obtener un teorema y sus implicaciones de interés. Se sostiene que en todo caso es posible efectuar la operación f(f(x)), y la operación f(f(f(x))). Por ejemplo, para f(x)=2x, queda f(f(x))=2f(x)=2(2x)=4x. Esta muestra es realizable para cualquier función.

Retomando el caso general, la operación puede efectuarse sucesivamente hasta n veces:

fn(fn-1(...f2(f1(x))...))

Esta expresión es equivalente a sí misma por identidad, de tal forma que se tiene

fn(fn-1(...f2(f1(x))...))=fn(fn-1(...f2(f1(x))...))

y es éste el teorema del método del cual parte la observación del teorema de Gödel. Dada la inducción, n queda como el valor máximo en la operación fn(fn-1(...f2(f1(x))...)). Si no se declara que n+1 tiene el valor máximo mediante un teorema del tipo

fn(fn-1(...f2(f1(x))...))=fn(fn-1(...f2(f1(x))...)),

entonces no es posible deducir al mismo.

La sutileza de esta situación de validez del teorema para n+1 implica que existan valores m (como n o n+1) que no pueden ser expresados ni como el valor máximo, ni como un no-valor máximo. No puede decirse que es el valor máximo mientras no se cuente con el teorema del tipo

fn(fn-1(...f2(f1(x))...))=fn(fn-1(...f2(f1(x))...)),

efecto directo de la inducción del valor en sí. Tampoco puede decirse que es un valor no-máximo porque si se genera el teorema que le da validez, sí es posible decírselo máximo. Expresar a n+1, y en cualquier caso a algún m semejante, como un valor máximo o no, deriva en una sentencia indecidible. En otras palabras, decir que m es máximo es indecidible (ni verdadero, ni falso), esto según el análisis realizado.

Ahora, la expresión sobre si m es máximo o no, se obtiene de la Matemática, pues el teorema

fn(fn-1(...f2(f1(x))...))=fn(fn-1(...f2(f1(x))...))

faculta las implicaciones referidas. Cuando un sistema formal no puede deducir verdadero o falso a alguno de sus teoremas, se le llama sistema incompleto. Asimismo, cuando un sistema es consistente, todas los teoremas deducidos a partir de él son verdaderos. Entonces, según lo observado con los valores del tipo m, la Matemática puede que sea consistente (pues la inducción es completamente válida para el razonamiento que de ella surge), mas es incompleta, como se ha obtenido de la indecidibilidad de la expresión de m como un valor máximo.

Finalmente, para resumir ideas, se declara:

Teorema I: la Matemática es incompleta.

Y también de lo anterior se declara:

Teorema II: la consistencia de la Matemática es indemostrable.
No es posible deducirla consistente aunque en principio lo sea.

Este método es favorablemente (y se ha expuesto) interpretado para la lógica formal que abarca no sólo a la Matemática, sino a toda la Ciencia. Así, el teorema de Gödel quedaría demostrado en su totalidad.


12 de Diciembre de 2012
 
 

GÖDEL'S THEOREM

Sentences are used for reasoning. For example, «She is 24 years old» is a sentence with which everyone can reason. Another striking example about sentences used for reasoning is the recognition of kinships, that is, from phrases like «She is my mother», «He is the son of her», and «Everyone who is son of my mother, is my brother» it can be deduced «He is my brother». Gödel's theorem comes from reasoning.

What Kurt Gödel proves with his theorem is the existence of sentences which can be used for reasoning, but that can't be demonstrated neither true nor false: such sentences are known in logics as undecidable. The article where his theorem was published for the first time is called On Formally Undecidable Propositions of Principia Mathematica and related systems. Principia Mathematica was a list of sentences with which the mathematician Bertrand Russell aimed to bring together all the previously known (until the 20's of the XX century) about Mathematics. The task was not easy because he had to avoid the presence of contradictions in his mathematical derivations. For example, a contradiction would be 0=1 (when in fact it is known that 0=0). Apparently he achieved it, but Kurt Gödel demonstrated that it can not be demonstrated by only reasoning that Principia Mathematica does not lead any contradiction.

To prove that Principia Mathematica does not lead to any contradiction involves the demonstration of the truth of all its sentences. Gödel's theorem says that there are sentences that can not be demonstrated neither true nor false, so is ruled out the possibility that Principia Mathematica can be demonstrated without contradiction in itself. Now, Gödel's article not only discusses Principia Mathematica, but also about «related systems». These related systems talk about things other than Mathematics, or about Mathematics, but without using the sentences proposed by Bertrand Russell, always using reasoning. From there that would be so revealing Gödel's theorem (also called Gödel's incompleteness theorem, in contrast to the Gödel's completeness theorem which is something different) because people think through arguments.

One of many related systems talks about kinships (which has already been mentioned). It can be structured in a formal way (the term «formal» refers to symbols using fixed patterns, for example, formulas similar to the equations) as follows:

1. Every individual has both birth mother and father; the individual is called a son of its birth mother or father.
2. If an individual is a son of my mother or my father, then it is my brother.
3. If an individual is a brother of my mother or my father, then it is my uncle in the first degree.
4. If an individual is the mother or father of any of my birth parents, then it is my grandfather.
5. If an individual is a brother of my grandfather, then it is my (grand)uncle in the first degree.
6. If an individual is a son of my uncle in the first degree, then it is my first cousin.
7. If an individual is a first cousin of my father, then it is my uncle in the second degree.
8. If an individual is a son of my uncle in the first degree, then it is my second cousin.
9. If an individual is a first cousin of my grandfather, then it is my (grand)uncle in the second degree.
10. If an individual is the mother or the father of my grandfather, then it is my great grandfather.
12. If an individual is a son of my brother, then it is my nephew in the first degree.
13. If an individual is a son of my first cousin, then it is my nephew in the second degree.
14. If an individual is a son of my second cousin, then it is my nephew in third grade.

Note that it is irrelevant the forced use of male or female (it is implied). The list above can get transformed into formulas similar to equations by means of abbreviations such as H(i,j) that says «i is a son of j» and the like. The system really has not been completed because kinship relations can be established indefinitely. Also note the relative low complexity of this list and compare with the difficulty that should have represented the same to Bertrand Russell in Mathematics.

In logics we say that a sentence is true when all instances given as examples of it are corroborating what it says, otherwise it is said false. For example, x=x is true if any number is entered as an example, say 8=8 from among many possible. Take into account that x=x has not been said to be «absolutely true» but «if any number is entered». This is important because this defines the examples which are valid for a given sequence of sentences in a very precise way. Likewise, for kinship can be taken any family to corroborate the truth of the sentences proposed. However, even the sentences of kinship system can get sentences that are not true or false; we can not check that the kinship system does not derive any contradiction in the same way the Principia Mathematica could not be checked in thereof. Gödel's theorem of incompleteness is called like that because the systems of sentences that can not be verified true for all its sentences are called incomplete systems. As will be seen, even when all the sentences that comprise the system are true, none can be complete.

The case of an undecidable sentence (which is not demonstrable neither true nor false) for the set of sentences that define kinships can be obtained by imagining incestuous relationships. For example, remember in One Hundred Years of Solitude the relationship between Amaranta Úrsula and Aureliano. There is the relationship between him and his aunt, and they have a son; this child is his cousin and her nephew in the second degree also. It is relevant to refer the child remains second cousin and nephew in the second degree for himself. The fundamental question to understand Gödel's theorem is whether there is a chance that someone would, for example, stay as a son of oneself. This is not present in the sentences of the kinship system, nevertheless it could be suspected that the deduction may exist.

On the other hand, intuition suggests that the sentence «I am my son and my father at a time» is false, or that the sentence «I can not be my son and my father at a time» is true. However, Gödel's theorem says that these type of sentences can not be deduced neither true nor false from the sentences of the kinship system. These sentences are undecidable. Do not do a thousand and one combinations trying to get through one or other deductions to statements about the relationship with oneself, because no real example (about real life) verifies this as a possibility and therefore the sentence of type «I can not be my son and my father at a time» is actually true, and of course, «I am my son and my father at a time» is actually false.

Let us clarify ideas: 1) The sentences about the kinship with oneself are correct and 2) neither of both can be derived from such sentences of the kinship system. These two conclusions are crucial when speaking in general terms of «related systems» because they end up resulting in 1) Demonstrating through logical deductions that all sentences are true for any system is not possible (even if they are) and 2) There are undecidable sentences. Point 1) can be translated directly into «all systems that do not lead to contradictions are incomplete».

Gödel's theorem is very important to human reasoning. With it anybody can get sentences similar to that obtained on the kinships. For example, the phrase «The Universe originates from...» and then in any case is undecidable, because anything that is in the universe could prove the existence of himself (the Universe could not create itself). Other similar are undecidable, as knowing if one is actually dreaming or not. In summary, many proposals can not reach an answer. And this was a mathematic unique result that forced scientists to look for hard evidence that the Mathematics represent real things of nature, a situation that is necessary to avoid falling into contradictions in any deduction.

 
October 4th , 2012
 
 

EL TEOREMA DE GÖDEL

Para el razonamiento se utilizan oraciones. Por ejemplo, Ella tiene 24 años es una oración con la cual se puede razonar. Otro ejemplo notable del razonamiento es el reconocimiento de parentescos, es decir, que a partir de frases como Ella es mi madre, Él es hijo de ella, y Todo el que sea hijo de mi madre, es mi hermano se puede deducir Él es mi hermano. De ello procede el teorema de Gödel, de razonamientos.

Lo que Kurt Gödel demuestra con su teorema es la existencia de oraciones con las cuales se puede razonar, pero que no pueden demostrarse que sean verdaderas o falsas; a este tipo de oraciones se les conoce en Lógica como indecidibles. El artículo donde publica por vez primera su teorema se titula Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los PrincipiaMathematica y sistemas afines. Los Principia Mathematica eran una serie de oraciones con las cuales el matemático Bertrand Russell pretendía reunir toda la Matemática hasta entonces conocida (hasta antes de los años veinte del siglo XX). La tarea no resultaba sencilla porque tenía que evitar a costa de todo la presencia de contradicciones en sus deducciones matemáticas. Por ejemplo, una contradicción sería 0=1 (cuando en realidad se sabe que 0=0). Aparentemente lo logra, pero Kurt Gödel demuestra que no es posible demostrar a través de razonamientos que en efecto no llegaba a contradicciones con sus Principia Mathematica.

Y es que demostrar que los Principia Mathematica no llevaban a contradicción implicaba demostrar que todas sus oraciones propuestas eran verdaderas. El teorema dice que hay oraciones que no pueden ser demostradas ni verdaderas, ni falsas, con lo cual queda descartada la posibilidad de que los Principia Mathematica puedan demostrarse sin contradicciones en sí mismos. Ahora, el artículo de Gödel no sólo habla de los Principia Mathematica, sino también de unos sistemas afines. Estos sistemas afines son aquellos que hablan de cosas distintas a la Matemática, o bien, que hablan de Matemática, pero sin utilizar las oraciones propuestas por Bertrand Russell, aunque siempre utilizando razonamientos. De allí que resultara tan revelador el teorema de Gödel (también llamado teorema de incompletitud de Gödel, en contraste con el teorema de completitud de Gödel que trata de algo diferente) porque las personas pensamos por medio de razonamientos. Uno de tantos sistemas afines es el de los parentescos (que ya ha sido mencionado). Se puede estructurar de manera formal (el término formal se refiere a que utiliza símbolos y esquemas fijos, por ejemplo, fórmulas semejantes a las ecuaciones) el sistema de los parentescos como sigue:

  1. Todo individuo tiene madre y padre biológicos; a éste individuo se le llama hijo de ambos.
  2. Si un individuo es hijo de mi madre o de mi padre, entonces es mi hermano.
  3. Si un individuo es hermano de mi madre o de mi padre, entonces es mi tío en primer grado.
  4. Si algún individuo es la madre o el padre de alguno de mis padres biológicos, entonces es mi abuelo.
  5. Si algún individuo es hermano de mi abuelo, entonces es mi tío abuelo en primer grado.
  6. Si algún individuo es hijo de mi tío, entonces es mi primo en primer grado.
  7. Si algún individuo es hijo de mi tío en primer grado, entonces es mi primo en primero grado.
  8. Si algún individuo es primo en primer grado de mi padre, entonces es mi tío en segundo grado.
  9. Si algún individuo es hijo de mi tío en segundo grado, entonces es mi primo en segundo grado.
  10. Si algún individuo es primo en primer grado de mi abuelo, entonces es mi tío abuelo en segundo grado.
  11. Si algún individuo es la madre o el padre de mi abuelo, entonces es mi bisabuelo.
  12. Si algún individuo es la madre o el padre de mi bisabuelo, entonces es mi tatarabuelo.
  13. Si algún individuo es hijo de mi hermano, entonces es mi sobrino en primer grado.
  14. Si algún individuo es hijo de mi primo en primer grado, entonces es mi sobrino en segundo grado.
  15. Si algún individuo es hijo de mi primo en segundo grado, entonces es mi sobrino en tercer grado.

Nótese que es irrelevante la forzosa utilización del género masculino o femenino (porque se sobreentiende). La lista anterior quizá no aparente ser hecha de fórmulas semejantes a las ecuaciones, pero esto se logra por medio de abreviaciones como H(i,j) que dice i es hijo de j y otras parecidas. El sistema en realidad no ha sido concluido porque pueden establecerse relaciones de parentescos en forma indefinida. Además obsérvese la complejidad que adquiere algo relativamente simple y compárese con la dificultad que debió representar esto para Bertrand Russell en la Matemática.

En Lógica se dice que una oración es verdadera cuando todos los ejemplos que se den de ella la corroboren; en caso contrario se la dice falsa. Por ejemplo, x=x es verdadera siempre que cualquier número se introduzca como ejemplo de ello, por decir, 8=8 de entre tantos posibles. Tómese en cuenta que x=x no se ha dicho que sea absolutamente verdadera, sino verdadera cuando se utilizan números. Esto es importante porque sólo así se delimitan los ejemplos que son válidos para tal o cual secuencia de oraciones de una forma muy precisa. Asimismo, para los parentescos se puede tomar a cualquier familia y corroborar la veracidad de las oraciones propuestas. Sin embargo, aún de las oraciones del sistema de parentescos se pueden obtener oraciones que no son demostrables ni verdaderas, ni falsas; no puede comprobarse que el sistema de parentescos no llega a contradicciones, de la misma forma en que los Principia Mathematica no podían comprobarse en lo mismo. Al teorema de Gödel se le llama de incompletitud porque los sistemas de oraciones que no pueden comprobarse que no deduzcan contradicciones se les llama incompletos. Como se observará, aún cuando todas las oraciones del sistema que componen sean verdaderas, ninguno podrá ser completo (o no incompleto).

El caso de una oración indecidible (que no es deducible ni verdadera ni falsa) para el sistema de oraciones que definen parentescos se puede obtener de efectuar relaciones incestuosas. Por ejemplo, recuérdese en Cien años de soledad la relación entre Amaranta Úrsula y Aureliano. Es la relación entre él y su tía y tienen un hijo, mismo que es primo de él y sobrino en segundo grado de ella; resulta relevante referir que el niño queda como primo en segundo grado y sobrino en segundo grado de él mismo. La cuestión fundamental para entender el teorema de Gödel es si existe la posibilidad de que alguien quede, por ejemplo, como hijo de uno mismo. Esto no está presente en las oraciones del sistema de parentescos, no obstante se sospecharía que su deducción pudiera existir.

La intuición por otra parte sugiere que la oración soy mi hijo y mi padre a la vez es falsa, o bien, que la oración no puedo ser mi hijo y mi padre a la vez es verdadera. A pesar de ello, Gödel logra demostrar que estas oraciones no pueden deducirse verdaderas o falsas a partir de las oraciones del sistema de parentescos. Estas oraciones son indecidibles. No hay que hacer mil y una combinaciones tratando de llegar por medio de deducciones a una o a otra oraciones sobre el parentesco con uno mismo, sino que ningún ejemplo real (de la vida real) comprueba esto como una posibilidad y por lo tanto la oración del tipo no puedo ser mi hijo y mi padre a la vez es efectivamente verdadera, y por supuesto, soy mi hijo y mi padre a la vez es efectivamente falsa.

Aclarando las ideas: 1) Las oraciones respecto al parentesco con uno mismo son correctas y 2) no se pueden deducir verdaderas o falsas dichas oraciones a partir de las oraciones del sistema de parentescos. Esas dos conclusiones son cruciales cuando se habla en términos generales de los sistemas afines porque terminan traduciéndose en 1) Demostrar mediante deducciones lógicas que todas las oraciones de un sistema son verdaderas no es posible (aunque lo sean) y 2) Existen oraciones indecidibles. El punto 1) puede traducirse directamente en todos los sistemas que no llevan a contradicciones son incompletos.

El teorema de Gödel es muy importante para el razonamiento humano. Con él se pueden obtener frases análogas a la obtenida sobre los parentescos. Por ejemplo, la frase El Universo se origina a partir de... y la continuación en cualquier caso es indecidible, porque nada de lo que esté en el universo podría demostrar la existencia de él mismo (el Universo no podría crearse a sí mismo). Otras muy similares son indecidibles, como saber si se en realidad se está soñando o no. En resumen, muchas propuestas por el estilo no tienen respuesta. Y para la Matemática esto constituyó un resultado único que obligaba a los científicos a buscar evidencia firme de que la Matemática representa cosas reales, de la naturaleza, situación que es necesaria para no caer en contradicciones en cualquier deducción.


4 de Octubre de 2012
 
 

SOBRE LAS FUNCIONES DINÁMICAS QUE CARACTERIZAN AL UNIVERSO

Por definición, se tiene formalizada la noción llamada posición como sigue: Sea un cuerpo c (como se reconoce a los cuerpos físicamente, de un modo evidencial, sin definición teórica). Se puede establecer la relación P=P(c) donde P(c) expresa la posición de c.

Se tienen ahora dos cuerpos y se establecen las relaciones P1=P(c1) y P2=P(c2). Se puede determinar una segunda relación de diferencia entre las posiciones P1 y P2: D=D(P1,P2). Se puede definir, además, con otro tercer cuerpo de posición P3=P(c3) que

D1=D(P1,P3)=S(D(P1,P2),D(P2,P3)) = S(D(P2,P3),D(P1,P2)),

donde S(x,y) expresa la suma e x con y.

Las definiciones de S y D permiten establecer que hasta el momento se mantiene (para teorizar sistema físicos) un grupo abeliano.

Convencionalmente, la relación S=S(x,y) se simboliza como S=x+y. Se procederá en adelante con esta notación. También la relación D=D(x,y) se simboliza convencionalmente de otra manera: D=x-y. Se procederá, igualmente, de ésta segunda forma.

Por otra definición se tiene a la coordenada temporal: T=T(c) donde T(c) expresa la coordenada temporal de c. Y las mismas relaciones S y D se establecen para T.

A partir de estas dos definiciones junto con sus relaciones, se define a la función de posición: P=P(T(c)), porque la función se puede transformar, por supuesto, en una del tipo P=P(c) como ya se tenía contemplado. Entonces P=P(T) es completamente válido.

Partiendo de la función de posición, se puede figurar la definición de velocidad: v=P'(T), donde se dice que P'(T) es la derivada de la función de posición. Recuérdese que la derivada se define como:

f'(T)=lím h→0 [f(x+h)-f(x)]/h

Obsérvese que si la posición es una función del tiempo, la velocidad también es una función del tiempo. Por ello se puede definir la aceleración de la siguiente manera: a=v'(T).

Con ello se procede a continuar con los aspectos físicos que implican estas definiciones. En ese sentido se consigue la:

PRIMERA LEY DE NEWTON.

Sea un cuerpo único en el Universo. No hay motivo para que la posición de este cuerpo cambie, es decir, para que cualquier diferencia D entre posiciones sea diferente de cero. Trátese de hallar el motivo. No lo habrá. Esto es porque se observa al cuerpo desde la perspectiva del cuerpo mismo, como si uno fuera parte del cuerpo. Desde la perspectiva del cuerpo, su posición es una constante. Entonces, su velocidad es cero, lo mismo que su aceleración.

Sin embargo, esta condición no es la única que arroja una aceleración cero. Cuando la velocidad es constante, la aceleración también es cero. Y si la velocidad es constante, la posición se representa por una función P=k1·T+k2, donde la relación x·y es un producto (una ampliación algebraica de la relación de suma que deriva en un anillo abeliano), y k1 y k2 son constantes. Entonces la posición del cuerpo varía. Cuando T=0, la posición es una constante, tal y como se prevee inicialmente. Entonces para el caso propuesto al comienzo, la coordenada temporal es cero únicamente.

La primera ley de Newton dice: si no hay modificación en la velocidad de un cuerpo, es porque no hay motivo (fuerza) que la altere.

Se ha observado el caso particular, cuando la velocidad del cuerpo es cero. Sin embargo, cuando la velocidad es constante, en efecto, no hay fuerza para alterarla. La aceleración, en este caso, es cero. La posición del cuerpo puede cambiar y aún así, la fuerza tal no está presente. Esto es, la fuerza no implica que las coordenadas temporales del cuerpo cambien. Se dice que un cuerpo con velocidad es un cuerpo en movimiento rectilíneo uniforme (MRU). El cambio de las coordenadas temporales de un cuerpo implican un MRU. O en palabras comunes, algo ocurre cuando las coordenadas temporales cambian: ocurre el MRU. La modificación de la posición de un cuerpo no requiere de motivos.

La primera ley de Newton faculta a determinar la:

TERCERA LEY DE NEWTON.

Sean dos cuerpos en el Universo. Ya hay un motivo que implique la modificación de la velocidad de ambos (puesto que si uno de los cuerpos es influido es lógico pensar en la acción recíproca). Ya hay una fuerza que acelere a ambos cuerpos.

La tercera ley de Newton dice: la presencia de dos cuerpos implica una influencia mútua de estos.

En efecto, se influyen mútuamente porque se aceleran entre sí. Incluyendo notación, Fab=0 cuando la velocidad del cuerpo es constante. Fab expresa la influencia de a en b (la fuerza que ejerce a en b). Esto por la primera ley de Newton. Cuando Fab tiene otro valor, es porque hay un cuerpo a actuando sobre otro cuerpo b y viceversa. Entonces, Fab=-Fba representa esta característica definitoria de las fuerzas. Obsérvese que Fab+Fba=0. Esto es que dentro del sistema de cuerpos que forman a y b no hay fuerzas. Hay una fuerza de a manifestada en b, y viceversa. Pero para a y b juntos, como son los únicos cuerpos del Universo, no hay fuerza presente. Esto concuerda con la primera ley.

Estas dos leyes permiten definir esencialmente a una fuerza. Cuantitativamente se la puede determinar mediante la:

SEGUNDA LEY DE NEWTON

Cuando un cuerpo no es influido por una fuerza, entonces su aceleración es cero, esto según la primera ley. Ahora, sea un cuerpo que inicialmente único en el Universo. Su velocidad es constante. Posteriormente, aparece y desaparece un segundo cuerpo mientras ocurre para éste un cambio D(T) de sus coordenadas temporales. Entonces hay una fuerza que acelera al primer cuerpo, y por consiguiente cambia su velocidad. En resumen, las fuerzas (por muy mínima que sea la duración de su influencia) son la causa del movimiento; son la causa de que ocurran eventos en el Universo.

Hay aceleración cuando la fuerza se presenta. Esto es, a=a(T) tiene un valor. Siendo coherentes con la primera ley, a=0 cuando no se manifiesta ninguna fuerza. Por lo mismo, Fab=Fab(a(T)), y más precisamente, Fab es directamente proporcional a a(T) (porque si a=0, Fab=0 como caso exclusivo lo confirma). Dado que las fuerzas se manifiestan en presencia de los cuerpos, debe depender su magnitud de alguna de las propiedades de los mismos. Sea pues, Fab=Fab(Y(a),Y(b),a(T)), donde Y(x) expresa alguna propiedad de x. Cuando el cuerpo b no está presente (cuando el a es el único en el Universo), la Fab=0. Del mismo modo ocurre para el cuerpo a. Entonces, también Fab es directamente proporcional a Y(a) y Y(b).

Estas propiedades se pueden sumar para hablarse de la propiedad Y(a+b) del sistema que constituyen a y b. Esto es, Y(a+b)=Y(a)+Y(b). El cálculo a continuación empata con el hecho de que al no estar presente ya sea a o b, el valor del sistema restante (sólo b o sólo a) es el valor de la propiedad del cuerpo que sí está presente. La propiedad debe expresar la presencia de los cuerpos en el Universo. Por la suma de propiedades, si Y(a+b) es una constante (puesto que los cuerpos no se modifican), se tiene que Y(a)=Y(a+b)-Y(b). Y(a) es una función de Y(b) (porque Y(a+b) que representa a la propiedad del sistema de cuerpos es una constante) y esto implica que Fab=Fab(Y(a),Y(b),a(T)) quede únicamente expresada como Fab=Fab(Y(b),a(T)). La coordenada temporal T es dada para el cuerpo b en este caso (ya que es aquel que la determina).

La segunda ley de Newton dice: toda fuerza es calculable por medio de la función Fab=Fab(Y(b),a(T)) donde Fab es directamente proporcional a Y(b) y a a(T). La propiedad Y(x) es una intrínseca del cuerpo x en cuestión.

Si bien Newton propone originalmente que Fab=Y(b)·a(T), existe evidencia (relativista y cuántica) de que no es así la función como debería ser expresada. Por esta razón se somete a un cambio la segunda ley y se considera que Fab=Fab(Y(b),a(T)) con una regla de proporcionalidad directa. Convencionalmente, la propiedad Y(x) es expresada como la masa de x.

De una forma aún más específica, las fuerza Fab quedaría expresada como Fab=Fab(Y(b),T), mostrándose que es dependiente de las coordenadas temporales. En palabras comunes, las fuerzas ocurren al ritmo que los eventos del Universo (que son únicamente representables por el movimiento de sus cuerpos) ocurren.

Esta conclusión comprueba que las tres leyes son suficientes para describir a detalle al Universo en sus cuestiones más fundamentales, y en sus efectos. No describe su origen, sino los eventos que en él se llevan a cabo (sus movimientos). Describir al Universo sólo depende de detallar la naturaleza de las fuerzas, mismas que se miden por medio de la detección de los cambios de velocidad y de la determinación de las masas. Finalmente, esto depende de determinar con suficiente precisión tanto las posiciones, como las coordenadas temporales. El Universo sólo depende de las propiedades de estas magnitudes.

2 de Agosto de 2012
 
 

DEMOSTRACIÓN INTERPRETADA DEL TEOREMA DE GÖDEL

Para el razonamiento se utilizan frases. Éstas se constituyen por los siguientes elementos:

1) El cuantificador Para todo.
2) Relatores.
3) Constantes.
4) Variables.
5) Negador.
6) Implicador.
7) *Funtores.

El cuantificador Para todo sirve para que lo dicho entorno a una de las variables en una frase, sea válido para todas sus semejantes. Por ejemplo, de la frase -Para todo animal que tenga dos pies, se utiliza la palabra «bípedo»- el cuantificador Para todo está presente y la variable es «animal». La constante es la palabra «bípedo», y también «dos pies». El relator es «que tenga». El implicador se observa de que se cumpla la segunda parte de la frase, si se cumple la primera parte. Esta frase podría estructurarse con símbolos, pero las nociones de cada elemento pueden ser comprendidas simplemente con ejemplos semejantes.

Cabe aclarar que los relatores sirven para describir, de alguna forma, las circunstancias de las variables. Las variables, por otro lado, sirven para retomar toda una clase de objeto en particular (como los animales). Las constantes deben ser objetos que no varían, por ejemplo, una constante es «color negro», puesto que para todas las personas el color negro es el mismo. El implicador equivale a expresar una frase del tipo «Si..., entonces...».

Se ha marcado a los funtores con un asterisco. No es sin razón. Ocurre que los funtores se pueden formar a partir de los relatores. Esto es, uno puede utilizar el funtor «La capital de» y crear la frase «La capital de Francia» y el valor que se obtendría sería «París». No obstante, el equivalente con un relator sería «La capital de», pero en este caso la frase resultante sería ligeramente distinta: «La capital de Francia es París». El funtor es un relator modificado que sirve para arrojar resultados en lugar de relacionarlos con alguna variable.

El negador, como su nombre lo dice, sirve para negar. Por decir, «La capital de Francia no es Tokio» tiene como negador a no. Cualquier equivalencia como «tampoco», «ni», y otras, pueden obtenerse de un simple no. Asimismo, el cuantificador «Algún» se obtiene de negar el cuantificador Para todo. Todas las frases tienen una estructura definida de la siguiente forma:

[Cuantificador][variable][Cuantificador][variable]...[Frase]

Y las frases que se asumen por definición son:

[Implicador][Expresión][Expresión]

que se dice igualmente como:

[Si - Expresión][entonces - Expresión]

y la frase:

[Negador][Expresión], o [No][Expresión]

Las expresiones a su vez son todas las que se constituyen por un relator o un funtor con las variables o las constantes que les correspondan. Kurt Gödel demuestra en 1929 que «las frases sólo deducen frases» con su teorema de completitud. Una deducción es una sucesión de frases tales que se rigen por una serie de reglas que las validan. Por ejemplo, sea la siguiente deducción:

1) Ella es mi madre.
2) Él es hijo de ella.
3) Por lo tanto, él es mi hermano.

Se puede observar que las tres son frases. También se puede observar que de la regla «Si un individuo es hijo de mi madre, entonces es mi hermano» se cumple la frase 3). A la última frase de una deducción (para el caso, «Él es mi hermano») se le llama teorema. Lo que Gödel muestra entonces es que las frases sólo necesitan de frases para expresar un razonamiento, o según sus palabras, todo razonamiento es completo. Esto porque con frases cualquier razonamiento en forma de deducción, como se observa en el ejemplo, queda completo, sin ninguna idea faltante.

Ahora, el teorema de incompletitud demostrado en 1931 nos dice que de utilizar frases únicamente verdaderas es posible deducir frases que no sean ni verdaderas, ni falsas. Por ejemplo, (y como se observa en El teorema de Gödel) con frases de parentesco semejantes a la expuesta se obtiene que la frase «Yo no soy mi propio hijo» no se pueden deducir ni verdadera, ni falsa. Hay que poner en claro que no se pueden deducir ni verdaderas, ni falsas (son indecidibles), pero sí pueden ser verdaderas, aunque esto no se pueda saber por un mero razonamiento y por lo mismo quedan indecidibles.

A continuación, se construirá una demostración interpretada, con un carácter didáctico, que se basa en una propuesta de Alfred Tarski. Este matemático propone que el significado que tienen las frases se puede constituir a partir de un modelo que a su vez se compone de:

1) Un conjunto llamado Universo.
2) Elementos que pertenecen al Universo y que se asocian con los relatores y funtores.
3) Valoraciones que se asocian a las variables y que verifican la validez de los elementos de 2).

Por ejemplo, de la frase -Para todo animal que tenga dos pies, se utiliza la palabra «bípedo»-, el modelo se conforma como sigue:

1) Universo=[que tenga, se utiliza] como Universo.
2) Las frases «que tenga» y «se utilizan» con los significados que les atribuimos.
3) Cualquier ejemplo, por decir, «pingüino» como valoración de animal con dos pies y «bípedo» como lo entendemos.

Es necesario entender que las frases tal y como fueron definidas anteriormente no se referían a lo que se entendía de ellas, sino simplemente a las letras que se veían. Por eso en 2) se dice «con los significados que les atribuimos», ya que una cosa son las letras que representan la idea en cuestión (y que arman una frase), y otra cosa (lo que pertenece al Universo) es el significado que tienen esas letras.

Una vez propuesto esto, se dice que una frase es verdadera si todas las valoraciones del modelo, todos los ejemplos que se pueden ofrecer de la frase con el significado que se le otorga dado el modelo, la validan. Esto es, para el ejemplo, si todos los animales que se pueden enunciar y reconocer que tengan dos pies son llamados bípedos, entonces la frase -Para todo animal que tenga dos pies, se utiliza la palabra «bípedo»- es verdadera. Si alguna de las valoraciones no valida la frase con el significado que le otorgamos, entonces no es verdadera, es falsa.

Naturalmente, en una deducción el modelo no cambia. Se procede entonces a observar el fenómeno que corrobora el teorema de Gödel:

A) Tómese una frase y obsérvese su significado, o sea, los objetos que se relacionan a sus funtores y relatores, y que pertenecen al universo de un modelo dado.
B) Ármese otra frase que en sí misma se refiere al significado de la frase anterior, y obsérvese también su significado.
C) Ármese otra frase que se refiera al significado de la anterior en sí misma, y obsérvese su significado.
D) Hágase lo que en C) hasta donde se desee.

Elaboradas las frases, se tiene una última dentro de esta secuencia. La última frase carece de significado. Y carece de éste porque no existe la frase que le sigue y que se refiere a su significado. De otra forma, no hay una frase que se refiera al significado de esta última, por lo cual se observa que no hay tal significado. Esto no es privativo de ningún razonamiento, ni de ningún tipo de frase en particular, sino que es válido para toda la Lógica. Entonces, si hay frases que carecen de significado, no pueden éstas tener valoraciones que las validen. Y de ello, consecuentemente, se observa que hay frases imposibles de comprobarse verdaderas o falsas, que son indecidibles, porque no hay valoraciones que puedan validarlas simplemente porque no hay significado.

Como hay frases indecidibles, no se puede asegurar que un razonamiento junto con sus frases sea expositor absolutamente de verdades. Como el sólo decir la verdad implica el ser coherente, entonces se dice que:

A pesar de ser coherentes, no se puede probar si esto es cierto.

Además,

A pesar de ser coherentes, no se puede deducir que todas las frases son verdaderas; pueden obtenerse indecidibles que corroboran a nuestro razonamiento como incompleto.

Esto último es el teorema de Gödel (interpretado). Se dice que el razonamiento es incompleto porque no puede deducirse que todas las frases sean verdaderas. De otra manera, un razonamiento completo es aquel que sólo expone frases verdaderas, incluyendo la que refiere el hecho de su completitud, situación que es imposible. La oración anterior a la última es una consecuencia del teorema.

Antes de Gödel, sea creía que el razonamiento que convencionalmente llamamos «Matemática» era coherente, que sólo exponía verdades. Sin embargo, por el teorema de Gödel, no estamos en la posibilidad de demostrar que la Matemática efectivamente expone sólo verdades. Así, un razonamiento que se creía intachable de mentiras quedaba a la deriva, sin poder asegurarse que no exponía tales mentiras. Más aún, cualquier razonamiento es susceptible de desconocerse sobre su coherencia. 
 
Septiembre 2012