Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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sábado, 22 de diciembre de 2012

FENÓMENOS INDUCTIVOS


CIENTIFICIDAD DE LA MATEMÁTICA

La Lógica pura está determinada por medio de definiciones elementales, básicas, que permiten desarrollar un estudio de las inferencias, o bien, de los esquemas de razonamiento. Este estudio se halla formalizado con simbología biunívoca a los conceptos utilizados para razonar. No era exagerada la denominación que da George Boole a la Lógica pura como el estudio de las Leyes del pensamiento [Laws of thought]. La Lógica pura, la que sólo se invoca para referirse a las inferencias, es corta. Lo mismo ocurre con el resto de la Ciencia. La Biología queda corta si no se liga con la Lógica, la Física y la Química quedan cortas si no se ligan entre sí, etc.

La Lógica formal y pura permite establecer un principio de cientificidad susceptible de la razón, o sea, formalizado. La Ciencia en sí misma es una. La Ciencia se dedica al entendimiento de la naturaleza por medio de investigaciones, pero es con esta formalización que se gana algo más trascendental: no sólo queda el saber por saber sino el saber con motivo, con objetivo. Ningún estudio ha aportado tanto al saber científico como la Lógica pura lo hace por medio del principio de cientificidad formalizado (PC). Ocurre que la Lógica pura no depende del principio de cientificidad para su fundamentación. Es un estudio filosófico, desligado de la evidencia, dependiente de la intuición, el sentido común.

La nobleza de todos los estudios hace que la Lógica deje su pureza para admitir el principio de cientificidad. De esta manera pasa a compartir un puesto junto con todos los estudios que son formalizables. La Ciencia sin Lógica otorga resultados interesantes derivados de la investigación sin motivo, pero con Lógica, la Ciencia gana formalidad y es posible teorizar. Así existen escuelas para cada estudio formalizado de la Ciencia. Cada fenómeno puede adquirir modelos y valoraciones por medio de la Lógica (según como ésta los define).

Todos los estudios formalizados tienen en su definición al tipo de fenómeno bajo estudio y la forma de acceder a él. Física: estudio de los fenómenos corporales por medio de sus interacciónes, Química: estudio de los fenómenos corporales por medio de sus combinaciones, Lingüística: estudio de los fenómenos de la comunicación considerando sus aspectos físicos, fisiológicos y psíquicos, etc. Al fenómeno se accede por su naturaleza; al principio del fenómeno (dado el PC) se accede por la Lógica pura y de allí es posible teorizar entorno a él.

Existe un tipo de fenómeno que, dada su naturaleza, es confundido con aquello que trata la Lógica. Se trata de los fenómenos inductivos. Estos fenómenos se derivan de la observación de patrones, lo que intuitivamente entendemos por repeticiones. A diferencia de la Lógica pura, que viene directamente de la intuición, la Matemática tiene bases evidenciales y, como todos los estudios científicos formalizados, tiene su fundamento teórico, la base que le permite elaborar deducciones, según el PC.

Un tipo de fenómeno inductivo es el siguiente: al agregar algo, la totalidad se ve incrementada y sólo se ve disminuída al retirar algo de ella. La Matemática estudia fenómenos de esta categoría. La evidencia experimental de los fenómenos inductivos se halla en las convenciones que se tengan sobre ellos y que convenzan a cualquiera. Cualquier persona que entiende el fenómeno mencionado puede mostrar un esquema que convencionalmente se asume para representar al hecho en cuestión. Del ejemplo, se podría proponer el siguiente esquema: xxxx, como la totalidad, x como lo agregado, xxxxx como el incremento de la totalidad y xxxx como la disminución de la totalidad al retirar lo agregado.

Convencionalmente se tiene este tipo de esquemas que son la evidencia requerida para validar un principio partiendo de un fenómeno inductivo, según dice el PC que se requiere para cualquier estudio. Quizá el matemático tradicional no perciba su ámbito de esta forma, sin embargo en esto se hallan la mayoría de los problemas que la Matemática sufre actualmente. Siempre se ha tenido este tipo de fenómenos y el matemático normalmente teoriza para demostrar su veracidad. Por ejemplo, la conjetura de Goldbach es evidencialmente correcta, está formalizada y parece consistente con el resto de los principios matemáticos. No obstante, parte de la comunidad matemática se empeña en demostrar la conjetura por medios exclusivamente teóricos.

Demostrar los fenómenos inductivos con el sólo hecho teorizar equivale a tratar de demostrar el principio de relatividad, en Física, partiendo de teorías previas a él, por ejemplo, Mecánica clásica. El matemático obsecado normalmente rechaza como una situación relevante a la evidencia, pero es crucial que se tenga ésta, con esquemas convencionales como el mostrado. Por ello es que la hipótesis del continuo no encuentra solución: no hay esquema convencional que represente algo por el estilo y que a prueba de toda duda razonable conveza a cualquiera.

La Matemática puede tomar un rumbo más claro si se asume su definición como se ha esbozado y como será presentada a continuación.

EL PRINCIPIO DE INDUCCIÓN MATEMÁTICA

La Matemática se propone definida como sigue:

Estudio relativo a los fenómenos inductivos a través de esquemas convencionales.

Con esta aclaración sobre lo que es la Matemática, es posible entender la veracidad de los resultados que a la fecha han sido demostrados a prueba de toda duda razonable y será posible hallar resultados inesperados.

Se había mencionado que ligar a los estudios de la Ciencia hace más constructivo su trabajo. La Matemática se puede ligar a la Lógica pura, a la Física, a la Química, etc. En todos estos ámbitos (aún cuando la Lógica pura es intuitiva) hay fenómenos inductivos. Los esquemas convencionales son los experimentos que se efectúan, ya sean experimentos verificables o únicamente propuestos, ficticios. La Lógica pura va aportar a la Matemática la mayor parte de su formalidad. Luego la Matemática le aporta a ésta la mayor parte de sus resultados más sofisicados.

La estructura crucial de razonamiento para la Matemática es el principio de inducción matemática. Se observará con un ejemplo en qué consiste tal principio. Se retoma el ejemplo de los agregados a las totalidades: x se asume como una totalidad, x es la misma totalidad que la anterior, se agrega x a las totalidades, xx queda en ambos casos; se tiene una totalidad del tipo xxx...xx, la misma totalidad xxx...xx se asume aparte, a ambas se les agrega x, xxx...xxx queda en ambos casos como la misma totalidad. Como para las mismas totalidades, sean cuales sean, queda siempre de agregar lo mismo una misma totalidad, entonces una totalidad queda definida por lo que se agregue.

El resultado obtenido del fenómeno se sigue del hecho de haber considerado el análisis evidencial que aporta el esquema convencional. Se ha especificado en qué consiste una totalidad, agregar y el esquema debido. No obstante, el resultado no es obvio sino por un razonamiento. El razonamiento empleado fue el siguiente: se tiene el caso más particular del fenómeno, es decir, aquel inmediatamente derivado de su determinación, y el resultado que aporta; luego se tiene un caso ampliado y arbitrario del fenómeno junto con el resultado que aporta. Cuando el resultado es el mismo para ambos casos, se puede generalizar el resultado a todos los fenómenos determinados de la misma forma. Este esquema de razonamiento es el principio de inducción matemática (PI).

Nuevamente, quizá el matemático tradicional no observe el principio de la misma forma en que aquí se propone. No obstante, la evidencia señala que es posible utilizarlo para los fenómenos inductivos. Debe dejarse de asumir que los fenómenos inductivos tienen una definición. Esto equivale a darle una definición a la comunicación en Lingüística o las fenómenos corporales en la Física y la Química. Más aún, sería como definir a los conjuntos. Se tiene que los fenómenos inductivos sólo pueden ser accedidos (a saberse) por medio de esquemas convencionales que se ha visto validan la utilización del PI. En adelante, todos los resultados matemáticos lógicamente generalizados deben ser presentados en alguna modalidad del principio.

FORMALIZACIÓN

Se había dicho que la Lógica permite formalizar a la Matemática. Esto se logra al formalizar los fenómenos según el PC. Una vez formalizados los fenómenos, es fácil teorizar entorno a ellos con la manipulación de símbolos por medio de los axiomas de la Lógica y ciertas reglas de inferencia.

Ya se había formalizado el fenómeno de los agregados y las totalidades al emplear estos términos para referirse a ellos y luego se obtuvo un resultado. Con cierto rigor se puede únicamente acudir a letras o figuras para representar estos términos sin retomar lo que necesariamente se sabe significan. Por ejemplo, se puede determinar el fenómeno empleado por medio de uno o varios axiomas. Esto quedaría como sigue:

Axioma I. Existe aquel equivalente a la ligadura de otros. Formalmente:

ij∃k=kBij donde Bij dice la ligadura dados i y j.

Con este axioma se observa que si, por ejemplo, =ixxxx y =jxxx, entonces existe =kBxxxx xxx, o sea =kxxxxxxx. Se omiten las palabras agregado y totalidad porque se puede prescindir de ellas dada la formalización. Por ello conviene el PC la utilización de la lógica de primer orden que permite el entendimiento racional y preciso de un fenómeno, a la vez que se obtiene un nivel expresivo suficiente para el mismo (aunque insuficiente al emplear una lengua ordinaria como el Español o el Inglés).

La modalidad de formalidad lógica que aquí se expone es la que evita emplear paréntesis. Es por ello que un conector lógico queda al comienzo de una expresión, que una relación como = se coloca al comienzo de dos variables y no entre éstas y que los cuantificadores afectan a todas las variables al frente de ellos, además de que se evita también el uso de comas entre variables en una relación. En adelante se empleará esta modalidad para toda demostración con lógica de primer orden.

Se puede proceder como sigue para demostrar formalmente lo obtenido:

Teorema I. Existe aquel equivalente a la ligadura de uno consigo mismo. Demostración:

=ij premisa
∀i∃k=kBii por el axioma I.

Con este resultado se procede con una deducción según el PI:

=ix premisa. Aquí x es una constante.
∃j=jBii por el teorema I.
∀k→=kBii=kj porque Bii es constante (en virtud del funtor) y j lo es (por la igualdad).
∃jn+1=jn+1Bijn donde jn es una constante obtenida de sucesivos pasos con =jBii como el inicial.
∀k→Λ=ix=kBijn=kjn+1 porque Bijn es una constante según lo anterior.

Se ha demostrado formalmente el resultado obtenido anteriormente por la evidencia. Así queda con mucha mayor precisión la expresión toda totalidad queda determinada por sus agregados. Esta frase debería ser dividida en dos como lo hace la demostración para decir que la totalidad x es constante y luego que toda totalidad resultado de ligar otras totalidades también es constante.

El PI se ha manifestado al presentar el caso Bii como el que inmediatamente surge del fenómeno (formalizado) y luego al exponer el caso arbitrario con jn. La ventaja observada en la demostración formal para el PI es la posibilidad de introducción del cuantificador generalizador en el razonamiento sin que esto sea sucedido esencialmente por la regla de inferencia de introducción del generalizador del cálculo deductivo de primer orden.

Una vez establecida la forma de teorizar con la Matemática, se procederá a la observación de las teorías que la representan.

ORDEN

El orden es una situación lo suficientemente conocida en tantos ámbitos de la Matemática que en realidad es una parte fundamental de ella. El esquema convencional que se propone muestra lo que se entiende por orden: x xx xxx xxxx xxxxx exhibe que x se halla a la izquierda de xx, que xxx está a un lado de xxxx y de xx, y que xxxxx está a la derecha de xxxx. Estas ideas básicas constituyen un primer paso para la obtención de un orden, es decir, para poder ubicar a cualquiera de los objetos que conforman el esquema.

La formalización del orden es la siguiente:

Axioma 1. O está a la diestra de otro, o el otro a la diestra del primero. Formalmente:

xy¬↔RxyRyx donde Rxy dice x está a la diestra de y.

En este caso estar a la diestra es equivalente a estar detrás o previamente o ser menor que. Esto no tiene importancia: todos estos conceptos son válidos. Lo mismo ocurre cuando se trata de la siniestra. Esto quiere decir que, por ejemplo, de xx y xxxx sólo se puede decir que xxxx se halla a la derecha de xx pero no al contrario.

Axioma 2. Está a la siniestra sólo si no está a la diestra. Formalmente:

xy↔¬RxySxy donde Sxy dice x está a la siniestra de y.

Análogamente al axioma anterior, de x y xxx, si se sabe que x está a la izquierda de xxx, entonces no es posible cambiar la palabra izquierda por la palabra derecha y que la expresión quede correcta.

Axioma 3. Está lateral a otro sólo si el otro el lateral al primero. Formalmente:

xy↔LxyLyx donde Lxy dice x es lateral a y.

Así es posible expresar que xx se halla a un lado de xxx y de igual forma que xxx se halla a un lado de xx.

Axioma 4. Si uno dado está a la diestra de otro, entonces si uno distinto de los anteriores es lateral al primero se tiene que éste se halla a la siniestra. Formalmente:

xy↔→ΛLxyRxy→LxzSxzΛ¬=zy¬=xz¬=xy donde se reconoce el relator = de los lenguajes formales.

Por ejemplo, de xx, xxx y xxxx, que son distintos, se puede decir que xxx está a un lado y a la derecha de xx. Luego, se dice que xxx está a un lado de xxxx, por lo tanto, xxx está a la izquierda de xxxx.

Axioma 5. Si uno dado está a la siniestra de otro, entonces si uno distinto de los anteriores es lateral al primero se tiene que éste se halla a la diestra. Formalmente:

xy↔→ΛLxySxy→LxzRyzΛ¬=zy¬=xz¬=xy

Ocurre como en el caso anterior con xx a la izquierda de xxx y el resultado es xxxx a la derecha de xxx.

Axioma 6. Ninguno es lateral de sí mismo. Formalmente:

x¬Lxx

No se observa que xx sea lateral de sí mismo (y en ningún caso se observa esto).

Axioma 7. Alguno es lateral de otro. Formalmente:

x∃yLxy

Todos, en efecto, están a lado de algún otro.

Axioma 8. Si uno dado es lateral a otro, entonces o está a la diestra o a la siniestra. Formalmente:

xy→Lxy¬↔RxySxy

Con xx se observa, por ejemplo, que xxx está a su lado y a su derecha (si no fuera a la derecha, estaría a la izquierda).

Como se había mencionado, se pueden tener cualesquiera equivalencias. Una de ellas puede ser arriba o encima, abajo o debajo y adyacente. Si se utilizan los relatores correspondientes a estos conceptos y se emplean los esquemas aquí planteados y además se les juntan las sentencias resultantes a los axiomas aquí propuestos, entonces se puede establecer un esquema más completo. Incluso se puede “diagonalizar” esta idea y obtener el esquema de un tablero de ajedrez o algo parecido. No se pone en duda que esta adaptación de axiomas se pueda llevar enésimas veces a cabo y se obtiene una estructura n – dimensional y ordenada. El esquema resultante sería un tablero con casillas en movimiento.

Es importante señalar que si la teorización se había dicho era insuficiente para establecer resultados matemáticos, también es cierto que esta misma puede simplificar los hechos que proceden de fenómenos inductivos. Para el orden, existe el fenómeno inductivo y la formalización, luego se pueden obtener resultados cuyos esquemas convencionales son ciertamente inaccesibles (como las casillas en movimiento).

En una situación así, es válido omitir el esquema para la obtención de teoremas de veracidad razonable; lo que no se admite en Matemática es la obtención de resultados a partir de sentencias lógicas que formalizan aquello que no tiene esquemas convencionales, es decir, cuya referencia a un fenómeno inductivo no exista (como la hipótesis del continuo basada en la infinitud que no tiene, a saberse, esquema convencional asociado).

ARITMÉTICA

Ya se ha expuesto una formalización de la aritmética con la disposición de los agregados y las totalidades. Es un axioma simple que, unido con el orden por medio de una sentencia o varias sentencias adecuadas, permite establecer la teoría de números. Entonces número es la entidad presente en los fenómenos inductivos y estudiada por medio de los axiomas de orden, el axioma de la aritmética (axioma I) y la sentencia o sentencias mencionadas. Las totalidades, según esto, son un caso especial de números. Con esto se dice también que el Cálculo es el estudio del número.

Como en el caso del orden, se pueden formular equivalencias de modelo para el axioma formulado de la aritmética, es decir, se pueden establecer totalidades de totalidades formadas por agregados (modelo de la multiplicación), totalidades de totalidades formadas por totalidades formadas por agregados (modelo de potenciación), etc. Entonces, es posible obtener una “súperestructura” aritmética ordenada n – dimensional. Uno de los modelos más importantes es el que dice Bij la separación dados i y j, lo que vulgarmente se conoce como sustracción. Otro de los modelos reconocidos es Bij la ligadura (o separación) imaginaria dados i y j, o dicho diferente, la suma (o sustracción) de números imaginarios. Las formalizaciones en Matemática pueden abarcar distintas formas del mismo fenómeno inductivo.

Para completar al Cálculo, es necesario establecer la sentencia faltante entre el orden y la aritmética:

Axioma II. Aquel equivalente a la ligadura de otros está a la diestra de estos. Formalmente:

ijk↔ΛRkiRkj=kBij

Los axiomas I, II y la teoría del orden observan por convención un mismo modelo. Por ejemplo, el modelo donde Bij dice la ligadura dados i y j y Rki dice k está a la diestra de i es uno admitido. Otra convención es el modelo donde Bij dice la separación dados i y j y Rki dice k está a la siniestra de i. Obsérvese que en este caso, Sxy quedaría entonces como x está a la diestra de y. Al tener estructuras n – dimensionales se pueden intercambiar modelos, un caso particular es el modelo donde B1ij dice la ligadura dados i y j, R1ki dice k está a la siniestra de i, B2ij dice el producto dados i y j y R1ki dice k está a la diestra de i. Para los relatores con subíndices idénticos se siguen los axiomas y modelos correspondientes en forma única, y para los subíndices distintos se pueden agregar premisas como

ijk↔ΛR1kiR1kj=kB2ij

que son consistentes con lo que comúnmente se conoce como producto de números negativos. El cálculo y sus modelos permiten efectivamente entender a los números (desde el cálculo variacional hasta las más simples adiciones y sustracciones).

Al añadir premisas correspondientes a los modelos se trata de ramas particulares de la Matemática directamente relacionadas con el Cálculo. Algunas de estas son la Probabilidad (con la premisa para toda t, t tiene a la siniestra una constante 0 y a la diestra una constante 1), el Álgebra elemental (con ciertas premisas del tipo producto de números negativos) y la Aritmética euclidiana (con premisas referentes a la divisibilidad de los números – adaptada según el producto –).

REGIONES

Las teorías de conjuntos han sido analizadas por muchos años y suponen el nivel de desarrollo matemático más elevado. Esto tiene una razón muy interesante: se han expuesto las teorías que al momento se conocen en orden cronológico, es decir, aritmética, orden y regiones (considerando que primero se mostró la formalización de la aritmética). Esta cronología se basa en la forma intuitiva en que nos percatamos de los fenómenos inductivos, o sea, normalmente es más fácil percatarse de la adición y sustracción de cosas, luego de su prioridad y finalmente de su delimitación.

Por ejemplo, la gente comienza contando el dinero, se sigue asignando valor al mismo y a las cosas que permite comprar, y finalmente se delimitan las clases sociales respecto a él. Es en ese sentido que la Matemática evolucionó: se crea la teoría de números naturales, se amplía ésta con el orden que otorga la teoría de números reales y finalmente se culmina con el hallazgo de las estructuras algebraicas y la Topología, todo esto a grandes rasgos. No es de extrañarse que los conjuntos sean difíciles de tratar si se consideran las relaciones que deben tener con la aritmética y el orden, además de no ser tan evidente su manifestación esquemática.

Por fortuna, la formalización de las regiones es simple y compatible con los fenómenos inductivos esquematizados con las x. Prosiguiendo con el esquema del fenómeno de las regiones, se tiene: xxxxxx exhibe que x se halla dentro de xx, que aaa se encuentra fuera de xx, y que xxxx está en contacto con xxxxxx (no lateral, sino que podría encimarse xxxx con xxxxxx, o sea, estaría en contacto). Como con la aritmética y el orden, se puede tener una formalización como a continuación:

Axioma A. Si está dentro de otra, entonces no está fuera de esta última. Formalmente:

ij→Dij¬Fij donde Dij dice i está dentro de j y Fij dice i está fuera de j.

Así xxx que está dentro de xxxxx, implica que xxxxx no esté fuera de xxx (porque xxx no basta para cubrir todo xxxxx).

Axioma B. Si está fuera de otra, entonces ninguna está dentro de la otra. Formalmente:

ij→FijΛ¬Dij¬Dji

Según esto, aaa está fuera de xxx (porque las a son distintas de las x), por lo tanto aaa no está dentro de xxx y viceversa (mejor dicho, no se pueden encubrir entre sí).

Axioma C. Está fuera de otra sólo si ésta se halla fuera de la primera. Formalmente:

ij↔FijFji

Un ejemplo es aaaa que está fuera de xxx, y viceversa (porque son distintas entre sí).

Axioma D. Si está dentro de otra, entonces ésta no se halla dentro de la primera. Formalmente:

ij→Dij¬Dji

Con esto, xxxx se halla dentro de xxxxxx y por consiguiente xxxxxx no está dentro de (no cubre a) xxxx.

Axioma E. Si está dentro de otra, entonces se halla en contacto con la otra. Formalmente:

ij→DijKij donde Kij dice i está en contacto con j.

Entonces, xx está dentro de xxxx y se puede encimar xx en xxxx.

Axioma F. Están en contacto sólo si éste es mútuo. Formalmente:

ij↔KijKji

Del anterior, xxxx se puede encimar en xx.

Un esquema convencional puede ser más apropiado en un caso y en otro no. El fenómeno de las regiones se puede acceder con mayor facilidad si se emplean manchas coloreadas o figuras con otras figuras en ellas, etc. Por ejemplo, de ©, c está dentro de O, de c y O, c está fuera de O, y de Æ, A y E están en contacto (por supuesto, c y O también lo están en ©). La Matemática no se restringe al esquema que emplea las x.

Las regiones son una forma de expresar lo que se entiende por conjuntos; los modelos de estos axiomas pueden adaptarse como Dij i pertenece a j, Fij i es exterior a j y Kij i es vecino a j y en general pueden formarse, como en los otros casos, modelos equivalentes. La sentencia necesaria para complementar esta teoría con las ya mencionadas queda como:

Axioma III. Si uno es el resultado de otros que se ligan, entonces los tres están dentro del mismo. Formalmente:

pqr→=rBpq∃sΛDpsDqsDrs

Es claro que asumir la premisa =ix con x una constante implica que s del axioma sea única. Con esta última proposición y la axiomática que precede se logran establecer las bases incipientes de la Matemática conocida. Cabe decirse que las teorías de conjuntos no poseen un éxito indiscutible porque no logran aclarar o ser compatibles con lo que intuitivamente se conoce como conjunto.

Partiendo de este axioma (III) se puede deducir la extensionalidad con la premisa =ix, el axioma de pares con otras dos constantes, la unión, la intersección, y se omiten conceptos como el conjunto vacío y la infinitud (que entorpecen el saber matemático), todo provisto en la teoría de Zermelo – Fraenkel – Skolem. En particular, la infinitud se garantiza con la formalización de la aritmética pero diferenciándola con exactitud, es decir, haciéndola inductiva y no ciertamente infinita. Resultados como las cortaduras de Dedekind, uno de tantos, pueden hablar de un orden inductivo, susceptible del PI, que es intuitivamente más accesible (ciertamente esquematizable) que un orden dados ciertos “conjuntos infinitos”.

RELEVANCIA DE LOS FENÓMENOS INDUCTIVOS

Conceptos tan intrigantes, importantes y discutibles como el cero pueden hallarse con la axiomática de la aritmética, el orden y las regiones al tomar la premisa =i0 con 0 una constante. La funciones pueden observarse de la implementación de modelos apropiados para el Cálculo. El cálculo variacional se obtiene con la definición (o premisa) del límite. Las teorías de estructuras algebraicas se pueden determinar con las regiones, y el Cálculo. Incluso la Geometría puede analizarse partiendo de los axiomas aquí presentes en el instante en que se tiene el Álgebra y la definición de las distintos lugares geométricos.

Se habla de una Matemática establecida en un aspecto más fuerte que la intuición, el PC. Asimismo, el PI queda como esquema de razonamiento crucial por excelencia. La Física y la Química, estudios cercanos a la Matemática, se enriquecen en su formalización porque la mayoría de sus fenómenos son inductivos (sobre todo las mediciones). Se dijo que la Lógica gana resultados muy enriquecidos por la Matemática, esto si se trata de la obra numérica y recursiva desarrollada por Kurt Gödel.

No se propone con los axiomas I, II, III, los de orden y los de regiones, una Matemática demostrable consistente, sino una Matemática con una formalización basada en la experimentación y la evidencia. No es de extrañarse que la Matemática siempre muestre señales de consistencia en sí: al basarse sobre los mismos fenómenos, todo lo relativo a estos debería ser coherente, a pesar de que esto sea indemostrable en su formalización.

Si el PC garantiza un alto grado de certeza, de credibilidad, es necesario admitir que la Matemática se rija (y se haya ido rigiendo desde milenios antes) por él.

31 de Enero de 2012

DE LAS NECESIDADES COMUNICATIVAS DE LA CIENCIA

[Esta entrada participa en la III Edición del Carnaval de Humanidades alojado por Luis Moreno Martínez en el blog El cuaderno de Calpurnia Tate.]

El objetivo de la Ciencia, según el principio de cientificidad(PC), es determinar el principio rector de un fenómeno estableciendo la formalización del mismo por medio de un axioma, o estrictamente, una sentencia lógicamente válida. Las necesidades comunicativas en la Ciencia se corresponden con lo anterior para facilitar el ejercicio de un actividad que ha mostrado ser útil, fructífera y veraz.

Es justo la credibilidad de las aseveraciones del tipo científico la que será analizada. Así, una declaración o cúmulo de declaraciones son creíbles si se observan directamente del PC. Quizá los científicos sepan emplear el PC, sin embargo no hay la certeza de ello cuando se lee o escribe un texto, o cuando se atiende o elabora una exposición. Para lograr un fácil entendimiento de que efectivamente se está observando el PC se ha convenido (inintencionalmente) en la comunidad científica una forma de redacción y exposición estándar, común.

En ambos casos, primeramente, se determina el tipo de fenómeno estudiado con una minuciosa descripción del experimento que evoca al mismo. Esto se logra con la descripción de los instrumentos de medición utilizados, con el detalle de ciertas acciones marcando el instrumento empleado y la manipulación corporal que se requiere para tal efecto, o bien, estipulando un esquema de razonamiento que sea sujeto al sentido común, a la intuición. A esto se debe añadir (al menos) un ejemplo junto con sus resultados para que sea efectuado preliminarmente y se obtengan o no los mismos.

Esto permite que cualquiera sepa interpretar lo que se trata en el texto o exposición. Además, facilita a largo plazo la definición de un estudio generalizado sobre cierto tipo de fenómenos como se ha obtenido con la Biología, la Matemática, la Física, la Química y muchos otros. Por ende, este aspecto también permite catalogar al fenómeno en cierto estudio y extraer fácilmente conclusiones de él.

Una vez determinado el fenómeno, se formaliza el resultado obtenido y ya descrito. Con ello se propone una expresión lógica y formal susceptible de participar en deducciones y demostraciones. Hasta este punto culmina la labor de investigación del científico. Si sólo se desea exponer los resultados de una investigación, lo anterior es suficiente.

No obstante, varios científicos desean ser notables y teorizan con el resultado formalizado asumiendo a un sistema formal dado como consistente con éste. Si se halla una contradicción se ha dicho [El genio formalizado, 2012] que es para sentirse afortunado. Si se halla consistente, es posible obtener una explicación teórica de la expresión lógica a partir de una demostración con los axiomas del sistema formal admitido. En el caso de señalar en un texto o una exposición alguna teorización, se muestran todos los pasos de la demostración y, si es posible, junto con las inferencias utilizadas.

Todo esto es lo único que los científicos requieren para homogeneizar la comunicación de su trabajo. Por supuesto, se exigen detalles propios de cada estudio dado que presentan distintas maneras de formalización. La Física se formaliza de la misma manera que la Matemática puesto que la mayoría desus fenómenos también son inductivos, la Química emplea fórmulas para su propia formalización, etc.

También se debe considerar que hay convenciones y definiciones admitidas que difieren en cada estudio. Aún así, la Ciencia, toda, presenta una suficiencia comunicativa que se sustenta sólo en la propia suficiencia de la Lógica formal y en los convenios debidos a ciertas obviedades del entendimiento común.

20 de Enero de 2012

CONSECUENCIA DEL GENIO FORMALIZADO

[Esta entrada participa en la III Edición del Carnaval de Humanidades alojado por Luis Moreno Martínez en el blog El cuaderno de Calpurnia Tate.]

Una persona puede ser sabia después de estudiar lo suficiente sobre cierto tema. El sabio se puede convertir en investigador cuando se halla en la búsqueda de teoremas con el PC (principio de cientificidad) de por medio. Luego, el sabio fundamentalmente no hace nada por el sólo hecho de saber. Tiene que trabajar (con o sin salario) para ser investigador. Esto es una situación ventajosa y desventajosa a la vez. Algunos no presentan el espíritu de la investigación si no es por dinero. Hay países donde no es bien pagado este trabajo y otros donde es de lo mejor pagado. Otros tienen tal espíritu de investigación que no necesitan del dinero para motivarse. Así, cualquier persona desde la comodidad de su casa puede ser investigadora. Insistiendo, es una situación ambigua.

El investigador puede pasar a ser notable cuando de su trabajo emana algo innovador, en particular, innovador en los esquemas de razonamiento. No obstante, sin padres no hay mas que investigadores. La Física como tal pasó a ser un estudio formal cuando Isaac Newton conjuntó los resultados de milenios de investigaciones y otros tantos años de las suyas. Lo mismo ocurre con toda la Ciencia. Arquímedes, Kepler, Galileo Galilei y otros antes que Newton sólo pueden ser considerados investigadores porque no fundamentaron en forma a la Física sino que aportaron resultados interesantes, útiles aunque asilados. Newton no sólo aportó resultados, también ofreció los primeros esquemas de razonamiento específicos para la Física. Todos son físicos, pero notables sólo después de Newton.

El notable se considera genio cuando en su trabajo ofrece soluciones inesperadas a contradicciones inevitables. Cualquier persona puede trabajar con el intelecto donde sea. Así, el genio puede surgir en un monasterio, en una cabaña alejada o en el espacio sideral. Para ser genio sólo se tiene que ser previamente sabio, es decir, estudiando mucho y luego investigador al trabajar con el intelecto lo estudiado. De nada sirven los títulos académicos: el intelecto va más allá de esto. En definitiva, los títulos estimulan este trabajo intelectual, pero no es indispensable para ofrecer sapiencia a la humanidad. No es que no valgan nada; ayudan a las sociedades a crecer con mayor prontitud, valen como estímulo, pero si no se cuenta con uno tampoco es imposible la investigación y el ser genio. Un “don nadie” puede pasar a la fama en el mundo científico si la presentación de su trabajo es regida por el PC y por su sagacidad.

Es más fácil ser padre que revolucionario. Fundamentar y descubrir hechos sí requiere de sagacidad profunda, muy desarrollada. No obstante, hallar contradicciones de situaciones ya fundamentadas es más complicado. Quizá sea la chispa inspiradora la que ha consagrado a algunos revolucionarios. Con esto se pretende decir que los padres proceden del esfuerzo intelectivo constante, mientras que los revolucionarios proceden de esto y de un poco de astucia lógica. Ya lo había dicho Marie Curie justo después de haber leído el trabajo de Einstein: ¡Qué audacia! Einstein detectó lo que debía ser obvio para todos los físicos y, sin embargo, sólo lo pudo detectar él con un sentido crítico en su máxima expresión.
9 de Enero de 2012

EL GENIO FORMALIZADO

[Esta entrada participa en la III Edición del Carnaval de Humanidades alojado por Luis Moreno Martínez en el blog El cuaderno de Calpurnia Tate.]
 
En unos cuantos años de experiencia con temas notables de la Ciencia es fácil observar el comportamiento del intelecto humano. En otras palabras, estar en contacto con los textos o resultados redactados por científicos notables deriva en entender al genio. Partiendo de la formalización científica se puede establecer un cierto grado de formalización del genio científico. Dado esto, no se pretende explicar el genio artístico con detalle, que bien puede entrar en otro ámbito de formalidad por ser más susceptible al estetismo, aunque sin excluirlo de la categorización que aquí se presenta.

Por supuesto, el genio científico conoce en primera instancia un principio fundamental: el principio de cientificidad (PC)**. Todos los nombres notables en el mundo de la Ciencia pertenecen a personas que conocían, quizá no con tanta precisión pero sí con mucho criterio, este principio. Luego de esto, la primera gran distinción entre todos los científicos notables está entre aquellos que obtienen resultados partiendo de sistemas formales ya establecidos y aquellos que generan nuevos sistemas formales.

Un científico puede teorizar, es decir, obtener teoremas según un sistema formal y luego verificar que los teoremas se cumplan dados ciertos fenómenos según señala el PC. Si una persona se rige por el PC, se le llama investigador. En realidad, todos los científicos son directamente investigadores mas no al contrario. Ocurre que el investigador puede no trabajar con base en un sistema formal mientras que el científico sí. De ello, el investigador no teoriza necesariamente. Algunos nombres de investigadores no científicos (según la definición) son: Kepler, Copérnico, Galileo Galilei, Avicena, Colón, Leeuwenhoek, etc.

Siguiendo con los científicos, si un teorema deducido a partir de un sistema formal presenta en su demostración un esquema de razonamiento diferente a los conocidos, entonces se le llama notable al científico que descubre tal teorema y puede comprobarlo según dice el PC. Muchos han sido notables: Lenz, Euler, Gauss, Curie, etc. Este conjunto de personas, los notables, es quizá el conjunto más amplio de personas sagaces. Esta cualidad, la sagacidad, es muy valorada en la comunidad científica y no sin razón: es gracias a ella que la Ciencia progresa.

Pues bien, la sagacidad se define como la capacidad intelectual que permite generar nuevos esquemas de razonamiento válido (según la Lógica formal). Puede tenerse gente sagaz que no es capaz de comprobar sus resultados por medio del PC. Este tipo de personas se llaman audaces pero no son notables. Los audaces sólo teorizan. No hay que confundir este aspecto: un notable pudo haber teorizado y no experimentado y ello no quiere decir su destierro de este conjunto. Los notables que no experimentan siempre exponen las formas de experimentación de las que ellos dispondrían para notar el PC. Darwin y Einstein fueron ejemplos de esto.

El teorema de Gödel confirma que ningún sistema formal es capaz de tener como teorema (de entre los suyos) su propia coherencia. Hay notables que en el transcurso de su labor hallan contradicciones difíciles de identificar en los sistemas formales, en virud del teorema de Gödel. Estos notables son generalmente afortunados de toparse con este tipo de cuestiones puesto que permiten regenerar los sistemas formales que existen para hacerlos consistentes entre sí. Los sistemas formales pueden ir desde lo más simple hasta lo más elaborado, pero siempre que un notable se encuentre con una contradicción puede sentirse afortunado.

Hay notables que, por la época que viven, trabajan forzosamente con sistemas formales simples, cuyo acceso se debe fundamentalmente a la intuición. Cuando este tipo de científicos logran formalizar plenamente, sin contradicciones evidentes, ciertos fenómenos, se les llama padres de un estudio dado. Otros notables, dadas sus circunstancias de vida, colaboran en el análisis de sistemas formales complejos, ya establecidos por alguno o algunos padres. Esto no descarta la existencia de contradicciones y cuando una es hallada se ha dicho el científico se siente afortunado. Se valora más una contradicción en un sistema formal establecido que en un sistema intuitivo. Ocurre que determinar esquemas de razonamiento que permiten encontrar las contradicciones en sistemas formales establecidos requiere de más sofisticación intelectual que para los sistemas intuitivos.

Sin distingos, los notables que generan nuevos sistemas formales corrigiendo las contradicciones halladas en otro dado (establecido o intuitivo) son llamados genios. Los padres son un caso particular de genios. Algunos nombres de padres son: Newton, Dalton, Lavoisier, Euclides, Eratóstenes, Freud, deSaussure (lingüista), etc. Al resto de los genios, los que corrigen contradicciones en sistemas formales establecidos, se les llama revolucionarios. A este selecto grupo acuden no muchas personas: Einstein, Hawking, Pauli, Pauling, Dirac, Russell, y no muchos otros.
 
Se ha venido diciendo que se valora más (se aprecia más) el trabajo intelectual derivado de los sistemas formales establecidos que el derivado de lo intuitivo, esto por la capacidad intelectual que se requiere en uno u otro caso. No por ello uno halla distinción con la palabra genio. Tanto los padres como los revolucionarios están dotados de una capacidad intelectiva superior a la común en su época y su ámbito. Preliminarmente uno podría hablar de la formalización del arte como el establecimiento de esquemas de pensamiento ligados al estetismo.
 
Esto es, aquellas personas que permiten apreciar un sentido estético son llamados artistas. Así el genio artístico es aquella persona que establece un canon innovador en cuanto a la apreciación estética. Ejemplos de esto: Da Vinci, Mozart, Beethoven, Tchaikovski, García Márquez, Picasso, Goya, Lennon, Mistral, etc. La diferencia con el genio científico radica en que los artistas no emplean el PC. La Ciencia es una porque estudia una sola naturaleza; el arte diverge porque los canones estéticos son variados y subjetivos. Por ello no se habla de padres y revolucionarios en este caso sino simplemente de genios.

Para finalizar, es necesario resaltar la importancia del intelecto en esta clasificación de la genialidad. Es muy probable que las personas que conocen a profundidad un cierto tema de la Ciencia puedan desarrollar resultados innovadores, sin embargo esto no siempre ocurre. Por lo tanto los sabios (los que poseen un conocimiento profundo sobre un tema dado) no necesariamente resultan ser notables y mucho menos genios aunque sí al contrario. Para ser notable, y más aún genio, es indispensable conocer la totalidad de las bases de un estudio dado para luego tratar de corregir alguna contradicción presente. Los genios, para serlo, estudian mucho de acuerdo con lo anterior. El que no estudia, no es ni sabio, ni genio, ni nadie trascendental en este planeta.

9 de Enero de 2012

**El principio de cientificidad [PC] dice: todo fenómeno puede ser representado de forma lógica, a través de símbolos, es decir, cualquiera es susceptible de formalización. Por ejemplo, la caída libre puede formalizarse a través de las ecuaciones cinemáticas y considerando que la aceleración gravitacional es constante. Otro ejemplo pueden ser todas las ecuaciones químicas con sus respectivas consideraciones termodinámicas que a través de símbolos ofrecen explicaciones sobre el comportamiento de las reacciones químicas.


EL PRINCIPIO DE CIENTIFICIDAD [PC]. DE LA CIENCIA FORMAL


Como nota preliminar a este trabajo, se siguen los axiomas de la lógica de primer orden y las siguientes abreviaciones simbólicas: a) el operador va al comienzo y las expresiones operadas a continuación del mismo tal que sólo se toma como sea legible dicha expresión, y b) los cuantificadores se agrupan en uno solo. O sea, A↔B se representa en este sentido como ↔AB. También se tiene →ΛABC que se lee ordinariamente (AΛB)→C. Igualmente se puede tener A=B como =AB. De los cuantificadores, ∀a∀b∀c quedaría como ∀abc. A continuación, el sistema planteado.

PARTE I. TEOREMAS CIENTÍFICOS.

Téngase la siguiente hipótesis:

Los fenómenos al ser conocidos con mucho detalle pueden adquirir carácter aritmético.
Conocer al fenómeno implica hallar ciertos principios (axiomas). Luego con estos se verifican teoremas. Esto es la aritmética, hallar teoremas a partir de los axiomas.

Especifíquese mejor la hipótesis:

Al tenerse los principios (axiomas) de cierto fenómeno, se tiene cierta aritmética.
La aritmética es hallar teoremas a partir de los principios. Considerando la tesis todo sistema a partir de cierto fenómeno es consistente, se tiene que todo principio es verdadero. Debe tenerse atención: el principio no es una expresión cualquiera para plantear el fenómeno sino la expresión que muestre (describa) con exactitud al fenómeno. Esto es, de los principios que permiten deducir teoremas indecidibles u obtener contradicciones (ambas situaciones son equivalentes considerando el primer caso con alguno de los principios indecidible y el otro con todos los principios verdaderos), entonces puede que algún principio sea indecidible (como se dijo del primer caso) o que algún principio sea en realidad falso (y que se requiera plantear otro principio). Dicho sea que la veracidad se verifica con que el teorema obtenido describa al fenómeno.

Simbólicamente quedan las proposiciones científicas:

∀pf→↔OpfΦ→ΦΨ

donde Φ es el axioma y Ψ el teorema; Opf dice p es el principio de f (el fenómeno). Este es el principio de cientificidad. Este principio es metacientífico, es decir, no corresponde al ámbito de la ciencia sino de la Matemática y, en estricto sentido, de la Lógica. El trabajo científico (y del científico) radica en verificar Opf, esto es, que realmente se tenga el principio del fenómeno. Si se cumple esto inmediatamente se asume un axioma Φ que es la formalización del principio. Por lo tanto, según la Lógica, la descripción del fenómeno constituye el modelo de Φ, donde el experimento permite tener una valoración del axioma en el modelo. Un modelo, por ejemplo, es enunciar se corta finamente en varias partes y el axioma queda como dx con x valorizable. En otras palabras, una valoración para x puede ser aquello a lo cual se va a cortar finamente en varias partes, por ejemplo, volúmenes, masas, cargas eléctricas, etc.

PARTE II. EL MÉTODO CIENTÍFICO.

Se verifica que Opf es verdadero, luego, necesariamente se tiene Φ, el axioma. Aparte se verifica que Oqf es verdadero. Luego se tiene Ψ, el teorema a partir de Oqf. Pero →ΦΨ es falso, así como →ΨΦ falso o indecidible para la misma valoración y el mismo modelo.

Se halla un Ψ' verificado verdadero por Orf. Se toma Ψ' como otro teorema. Si →ΦΨ' es verdadero, entonces Ψ es falso. Si →ΨΨ' es verdadero o →Ψ'Ψ, entonces Φ es falso. Todo nuevamente para la misma valoración y el mismo modelo. Es por eso que se debe probar la veracidad por medio de los modelos que proponen todas las sentencias sean axiomas o teoremas. Se admite útil y relevante al modelo que tiene como verdaderas a la mayoría de las sentencias bajo la misma valoración.

Este algoritmo permite que con todas las proposiciones verdaderas posibles se establezca un sistema formal a partir del fenómeno. El algoritmo es conocido como método científico.

PARTE III. INDEPENDENCIA

∃pf→↔OpfΦΛ¬ΦΨ es un teorema del principio de cientificidad. Aparte se tiene el teorema, ∃pf→↔OpfΦΛΦΨ. Ambos dicen que se puede tener el teorema de manera arbitraria a la veracidad de algún principio, es decir, que existen teoremas independientes de ciertos principios.
 
Esto es inherente de cualquier fenómeno. El que se tenga la posibilidad de la aritmética, o bien, de inferir teoremas, permite esta independencia entre los teoremas y ciertos axiomas (o cierto axioma). Por lo tanto, en cualquier análisis científico, es posible desligarse de ciertos principios y por lo tanto los fenómenos no necesariamente van ligados unos con otros por todos los principios verdaderos sino que pueden ser sólo algunos.

Esto implica que la ciencia en su conjunto está desligada en algún aspecto en sí misma como consecuencia de su propa capacidad de análisis. Cabría cuestionarse que tipo de aspectos son aquellos donde los fenómenos se desligan los unos de los otros en la ciencia tal y como se ha definido aquí. Esto posiblemente sea sugerido por la estructura lógica que se ha propuesto.


22 de Diciembre de 2011

CIENCIA

[Esta entrada participa en la III Edición del Carnaval de Humanidades alojado por Luis Moreno Martínez en el blog El cuaderno de Calpurnia Tate.]

Conocimiento exacto y razonado de las cosas por sus principios y causas es la definición dada de Ciencia por los estudios en lenguas y semántica. A continuación, la explicación de cada término.

Es conocimiento. Porque reside en la memoria. Cuando cierto individuo tiene cierto aspecto en su memoria se habla de conocimiento. Si el individuo muere y no ha transmitido dicho aspecto, éste deja de ser conocimiento por no residir en la memoria de algún otro individuo. Entonces requiere del carácter social para perpetuarse a lo largo del tiempo.

El conocimiento es exacto. Válido para todos los individuos, en todo el universo y bajo cualesquiera circunstancias que el conocimiento disponga.

El conocimiento es razonado. Se rige por la lógica formal. Con manipulaciones puramente simbólicas (sin significados previos ya que esto lleva a tener que definir en términos formales dichos significados) de los entes estudiados, las cosas. Se parte de axiomas o premisas que nos sitúan sobre los símbolos requeridos por el conocimiento exacto dadas las cosas y su comportamiento. Se tienen además reglas de inferencia que señalan cuáles símbolos se siguen inmediatamente a otros dados inicialmente ya sean axiomas, premisas o hipótesis.

Por sus principios y causas. Utilizando axiomas o premisas. Así se obtienen teoremas válidos por el conocimiento (axiomas, principios) según las reglas de inferencia. Se considera a “las cosas” como lo que sea distinguible de otras cosas, es decir, lo que sea abstracto (genérico).


Los símbolos utilizados corresponden a los hechos reales (que son verificables); cuando existen contradicciones entre los teoremas deducidos se cambian los axiomas empleando los mismos símbolos pero con un ordenamiento diferente, tal que se eliminen las contradicciones. A este procedimiento que permite hallar contradicciones y de allí cambiar el ordenamiento de los símbolos se le conoce como “método científico”.

Clásicamente, la observación queda de la identificación de los hechos reales, la hipótesis queda de la correspondencia entre los símbolos y los hechos reales, la experimentación queda de la obtención nuevos hechos reales y nuevas correspondencias con los símbolos conocidos, la verificación queda de hallar o no contradicciones entre los símbolos de la hipótesis y los símbolos de la experimentación, la corrección de los símbolos permite eliminar las contradicciones y establecer teoremas verdaderos (según el experimento). La teoría, ley, etc. queda de los teoremas obtenidos.

La exactitud y el razonamiento también implican el carácter social de la Ciencia: si no fuera exacta sería diferente para todos los individuos (la sociedad) y no sería posible el razonamiento. Se tiene que tomar en cuenta el carácter social para verificar si es cierta la exactitud y si es posible el razonamiento sobre la actividad realizada al estudiar “las cosas”. De esto también se desprenden la verificabilidad y falsificabilidad que caracterizan a la Ciencia.

20 de Noviembre de 2011