Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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jueves, 27 de diciembre de 2012

DUNS SCOTO

Con un sistema formal funcional (que aparentemente es consistente), se pueden establecer comparaciones con sistemas que pretenden lo mismo. Así, por ejemplo, todas las teorías matemáticas avalan la correctitud que hasta el momento presentan los Principia Mathematica (PM), o también, todas las teorías científicas son compatibles con el principio de cientificidad (una vez formalizada la Ciencia en sistemas como De la ciencia formal).

Duns Scoto plantea un sistema lógico no formal (DS) pero que es susceptible de análisis. Se hará respecto a la suma de varios sistemas formales. DS fue propuesto con base en las ideas de Santo Tomás de Aquino en la Summa Theologica, y justo cuando la Lógica aún era discursiva y cuando faltaba mucho para obtener una formalización seria de la Matemática. Ahora, con la existencia de la Lógica formal y de sistemas como De la ciencia formal se puede corregir cada defecto derivado del discurso informal.

Como nota preliminar a este trabajo, se siguen los axiomas de la lógica de primer orden y las siguientes abreviaciones simbólicas: a) el operador va al comienzo y las expresiones operadas a continuación del mismo tal que sólo se toma como sea legible dicha expresión, y b) los cuantificadores se agrupan en uno solo. O sea, A↔B se representa en este sentido como ↔AB. También se tiene →ΛABC que se lee ordinariamente (AΛB)→C. Igualmente se puede tener A=B como =AB. De los cuantificadores, ∀a∀b∀c quedaría como ∀abc.

LENGUAJE FORMAL Y AXIOMÁTICO DS.

Axioma 1. Un intelecto infinito es solamente el único en número. Formalmente:

pf→↔OpfΦ→ΦΨ donde Opf dice p es el principio de f, Φ es un axioma dado y Ψ el teorema deducible del hallazgo del principio a partir de f y que se traduce en el axioma Φ.

La parte del intelecto infinito se cumple por el generalizador en el principio de cientificidad. Como se trata de un solo axioma de cientificidad, se asume que la condición ser único en número es válida.

Cabe decirse que el lenguaje original de DS es ambiguo, de allí la frase lógica discursiva. Con ello se quiere decir que no todas las personas tienen o pueden llegar a tener claro (cosa fácil de probar) qué es un intelecto infinito. La intuición no nos permite llegar a ello directamente. Por el contrario, para cualquier científico es usual la expresión p es el principio de f porque en ello consiste su trabajo, o sea, en hallar el principio del fenómeno. De no ser un científico quien analice la expresión, puede fácilmente aprender y convencerse con uno o dos ejemplos en qué consiste esta expresión.

Así, se puede decir que uno ve que una manzana cae al suelo, que una bala de cañón cae al suelo, que un globo con helio asciende, que el agua desciende y que un globo con aire desciende con dificultad. De estos fenómenos se puede hallar lo siguiente: a) todos los sólidos descienden, b) todos los líquidos descienden, c) todos los gases menos densos que el aire ascienden, d) todos los gases de igual densidad que el aire descienden con dificultad. Luego uno se percata de que la Luna es sólida (por cierta evidencia). Entonces los resultados anteriores se corrigen porque los fenómenos han sido ampliados y se obtienen otros principios (por ejemplo, todos los sólidos en las cercanías de la Tierra descienden, etc.).

Quizá alguien pueda diferir (y por ello requerir del establecimiento de un sistema formal) sobre lo que se entiende por intelecto infinito, pero para cualquiera que observe un ejemplo de Opf tendrá la certeza de su validez. La intuición nos permite asumir directamente a Opf como una expresión válida. Por ejemplo, un escéptico puede proponer que se requiere, ya sea de un ejemplo directo y evidencial de intelecto infinito, o bien de un cerebro cuyas capacidades sinápticas sean infinitas (situación que no ha sido hallada). Por otro lado, aún el escéptico confía en la existencia de principios a partir de fenómenos como hay muchos casos en la Ciencia.

El principio de cientificidad se refuerza por ser susceptible del método lógico empleado por la comunidad científica y llamado método científico. Es por ello que se adapta lo que dice DS por medio de sistemas axiomáticos conocidos y con interpretaciones libres del discurso, es decir, sometidas a la formalidad y, más aún, a la validez de las evidencias naturales con las que se cuenta al momento.

Axioma 2. Una voluntad infinita es única en número. Formalmente:

ij↔Aij=jk donde Aij diría i es afín a j y k es una constante.

En la lógica formal se ha detallado la infinitud por medio de las variables y constantes de los lenguajes que correspondan. Un ejemplo de ser afín: uno ejerce, por decir, cargar una caja. Como uno efectivamente ejerza ello, se tiene que uno está de acuerdo con ello, es decir, uno es afín a cargar una caja. Con este simple ejemplo se puede uno convencer de la validez de ser afín y se puede entender lo que significa ser afín en esta propuesta de formalización de DS.

Con este axioma se hace un esfuerzo por entender lo que pretendía decir Duns Scoto en DS. Así la voluntad se asume como afinidad, o sea, la disposición que se tiene hacia las variables del lenguaje utilizado.

Axioma 3. Una potencia infinita es única en número. Formalmente:

jp↔Xjp=ju donde Xij dice i ejerce j y u es una constante.

Axioma 4. Un ser necesario es único en número. Formalmente:

q↔OqXuq donde Oq dice q ocurre.

Axioma 5. Sólo hay una única bondad infinita. Formalmente:

Bu donde Bq diría q es bueno.

El término infinito del axioma lo imprimen los demás axiomas donde la constante u se relaciona con toda la gama (infinita) de variables del lenguaje utilizado.

Por supuesto, esta interpretación formal de DS es ya independiente de lo que entendamos por Bq, Aij, etc. Con ello se quiere decir que si bien se han tomado términos con los significados de otros sistemas, en general, para representar a DS, se puede prescindir de los significados como se hace con todos los sistemas formales. Por lo tanto, en DS se debe entender a la afinidad, al ejercicio, a la eventualidad, etc. sólo como DS los tiene axiomatizados.

Lo que se pretende ahora es hallar 1) la consistencia del sistema (con alguna contradicción dejaría de ser consistente) y 2) que sea un modelo válido para la realidad que intuitivamente podemos entender (con ejemplos evidenciales y poco esfuerzo para nuestro convencimiento).

CONSISTENCIA Y MODELO

El axioma 1 dice que se requiere tener el principio del fenómeno puesto que se tiene el axioma (que puede ser incluso el axioma 1). Por lo tanto los cinco axiomas deben tener un ejemplo al menos para poder verificar la validez de la proposición Opf. Es notable que en estudios como la Física, la Química, la Matemática (con los fenómenos de inducción matemática), la Lingüística, etc. existe este principio implícito. Así el axioma 1 es compartido por varios sistemas formales (los estudios de la Ciencia).

En resumen, si se halla el ejemplo intuitivo para cada axioma, entonces se garantiza la validez del axioma 1, de lo contrario el sistema 1) no es consistente respecto al axioma 1 y 2) el sistema no es científico. Si bien el sistema sin el axioma 1 puede ser consistente, resultaría ser un sistema inútil para los propósitos explicativos que pretendía (por faltar al principio de cientificidad) y con ello el sistema DS pierde interés teórico en la determinación de la naturaleza, sea divina o no. Para facilitar el hallazgo de los fenómenos se puede tratar por medio de los teoremas derivados de DS. Así se validan dos axiomas al hallar el ejemplo de un teorema deducido a partir de estos.

Por ejemplo:

Teorema DS-I. Oq (y su generalización) es deducible. Demostración:

Xrq premisa.
=ru por el axioma 3.
Xuq sustituyendo en la premisa.
Oq por el axioma 4.
∀qOq inferida.

Si se halla un ejemplo intuitivo en el cual toda variable de un lenguaje con infinitas variables cumpla con una relación monoádica dada, entonces se prueba la validez de los axiomas 3 y 4. Asimismo, como Xrq se deriva del hecho intuitivo, debe tenerse un ejemplo intuitivo para dicha relación.

Otro ejemplo:

Teorema DS-II.

V¬OqOq premisa (tautológica).
↔V¬OqOqBu por el axioma 4.
∀q↔V¬OqOqBu inferida.

Nuevamente, si se halla un ejemplo intuitivo donde la relación monoádica aplicable a una constante de un lenguaje con dos constantes e infinitas variables implique necesariamente la tautología de otra relación monoádica aplicable a todas las variables del lenguaje, entonces se validan los axiomas 3, 4 y 5.

Generalmente se modela a la naturaleza por medio de sistemas axiomáticos (como se hace con PM, la Física, etc.). En general la Ciencia se vale de este método, en el cual se hallan los ejemplos evidentes y accesibles a todos (intuitivos) para luego formalizar dicha evidencia. Es difícil, y quizá imposible, hallar la naturalidad en sentido contrario, partiendo de un sistema axiomático y encontrando posteriormente el caso que cumpla dicha situación. No asegurando que esto sea imposible para DS, la propuesta de sistema formal está dada.

Probablemente por la falta de formalización de la Ciencia en la época medieval, Santo Tomás y Duns Scoto no se percataron de este detalle. Quizá sí sea posible hallar la naturalidad de DS, pero no muy probable que coincida con lo que ellos tenían en mente. Insistiendo en la nobleza de la formalización, la propuesta está dada.

5 de Enero de 2012

EL TEOREMA DE CANTOR



LA ARITMÉTICA DE LOS CUERPOS. TEOREMA II.


Teorema II: Toda ecuación de primer grado es resolvible.

Demostración:

ΛRyRaRxRb=y+·axb¬=a0 premisa. Definición de la ecuación de primer grado [ver La aritmética de los cuerpos, 30 de Diciembre 2011; 27 de Diciembre de 2012 en este blog].
=+y-b++·axb-b por el axioma 6.
=+y-b+·ax+b-b por el axioma 14 y el 8.
=0+b-b por el axioma 1.
=+y-b+·ax0 por el axioma 5.
=·ax+·ax0 por el axioma 1.
=+y-b·ax por el axioma 5.
=·/a+y-b·/·a·ax por el axioma 7.
=·+y-b/a··ax/a por el axioma 4.
=·+y-b/a·a·x/a por el axioma 9.
=·+y-b/a·a·/ax por el axioma 4.
=·+y-b/a··a/ax por el axioma 9.
=1·a/a por el axioma 1.
=x·x·a/a por el axioma 7.
=x··a/ax por el axioma 4.
=·+y-b/ax por el axioma 5.
=x·+y-b/a por el axioma 2.
→ΛRyRaRxRb=y+·axb¬=a0 =x·+y-b/a inferida.


La resolución consiste en hallar =xa con Ra. Este ejemplo de demostración es muy simple y podría quedar mejor estructurado con la determinación de ciertos teoremas de uso común. Además, esta expresión de la ecuación de primer grado debe generalizarse. Aún así, el teorema es válido para acepciones como Rg que digan g es imaginario. Con ello se quiere decir que toda demostración en la teoría de cuerpos es aplicable a cualquier cuerpo n – dimensional. Con la adición de ciertas definiciones como la raíz o el logaritmo es posible ampliar los resultados obtenidos en las teoría de cuerpos y en términos generales en las teorías de cuerpos n – dimensionales.

30 de Diciembre de 2011

LA ARITMÉTICA DE LOS CUERPOS


Aparentemente los axiomas que se presentarán son fundamentales para el establecimiento de la aritmética de los llamados cuerpos. No se aborda esto por medio de cierta teoría de conjuntos sino por medio de un sistema lógico independiente. Aún así es bien sabido que existen tales equivalencias con las teorías de conjuntos y por lo tanto es válida la propuesta presente. Cualquier teorema resultado del sistema debe ser consistente con lo que intuitivamente y tradicionalmente entendemos por un cuerpo.

Como nota preliminar a este trabajo, se siguen los axiomas de la lógica de primer orden y las siguientes abreviaciones simbólicas: a) el operador va al comienzo y las expresiones operadas a continuación del mismo tal que sólo se toma como sea legible dicha expresión, y b) los cuantificadores se agrupan en uno solo. O sea, A↔B se representa en este sentido como ↔AB. También se tiene →ΛABC que se lee ordinariamente (AΛB)→C. Igualmente se puede tener A=B como =AB. De los cuantificadores, ∀a∀b∀c quedaría como ∀abc. A continuación, el sistema planteado.

LENGUAJE FORMAL Y SISTEMA

Axioma 1. Definición de los elementos neutros de la suma y el producto. Formalmente:

a→RaΛ=a+a0=a·a1=0+a-a↔¬=a0=1·a/aR-aR/a
donde Ra dice a es real, +xy diría la suma de x e y, ·xy diría el producto de x e y, =ab diría a igual a b, -a dice el recíproco aditivo de a, y /a dice el recíproco multiplicativo de a.

Entiéndase que Ra tiene análogos en su aplicación, es decir, existen otras acepciones como a es imaginario que son igualmente válidas. Asimismo se aplica para el resto de los relatores y funtores del lenguaje que se está empleando. Una situación análoga se observa en la teoría del orden con las acepciones estar a la diestra y estar a la siniestra. En función de lo anterior, recuérdese que comúnmente la suma y la adición así como el producto y la multiplicación son sinónimos.

Axioma 2. La igualdad es simétrica. Formalmente:

ab→ΛRaRb=ab=ba

Axioma 3. La suma es conmutativa. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc↔=c+ab=c+ba

Axioma 4. El producto es conmutativo. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc↔=c·ab=c·ba

Axioma 5. La igualdad es transitiva. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc=ab=cb=ac

Axioma 6. La igualdad se puede expandir sólo si la expansión se puede simplificar hacia la igualdad. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc=+ab+ac=bc

Axioma 7. La igualdad se puede expandir factorialmente sólo si la expansión se puede simplificar hacia la igualdad. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc=·ab·ac=bc

Axioma 8. La suma es asociativa. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc↔=d++abc=d+a+bc

Axioma 9. El producto es asociativo. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc↔=d··abc=d·a·bc

Axioma 10. El producto es sustituible en la suma. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc↔Λ=c·ab=d+ce=d+·abe

Axioma 11. La suma es sustituible en el producto. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc↔Λ=c+ab=d·ce=d·+abe

Axioma 12. El producto es sustituible en el producto. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc↔Λ=c·ab=d·ce=d··abe

Axioma 13. La suma es sustituible en la suma. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc↔Λ=c+ab=d+ce=d++abe

Axioma 14. Si son reales, entonces la suma y producto de estos son reales. Formalmente:

ab→ΛRaRbΛR+abR·ab

Estos axiomas son operativos. A continuación los axiomas de orden:

Axioma 15. De uno dado, la suma con un positivo es mayor que éste. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc↔

Axioma 16. Los axiomas de la teoría del orden son válidos. Estos implican:

Teorema I: El orden es transitivo. Formalmente:

abc→ΛRaRbRc

Así la teoría de cuerpos requiere de la adición de los axiomas del orden para hacer válidas estructuras como las desigualdades. De la misma forma que en la teoría del orden, si se adicionan a los axiomas aquí presentes las fórmulas de esta teoría pero con acepciones distintas, en particular la análogas a Rx, se obtiene una teoría de cuerpos n – dimensional. Con la realización anterior se construye la teoría de cuerpos de los complejos, cuaterniones, etc. No se han definido operaciones como la raíz y el logaritmo; la estructura que se conoce como cuerpo no involucra estas definiciones intrínsecamente aunque es posible llevarlas a cabo sin que pierda su caracterización como tal.

30 de Diciembre de 2011

miércoles, 26 de diciembre de 2012

EL BINOMIO DE NEWTON


Nota: Para observar la publicación adecuadamente, descargue la imagen y lea el texto desde su ordenador. Gracias.
 

SUMA DE COMBINATORIAS CONSECUTIVAS

Teorema: la suma de combinatorias consecutivas en selección para un universo de cardinal n es igual a la combinatoria con la selección mayor de las anteriores para un universo de cardinal n+1.

La hipótesis (por el momento) anterior se traduce como sigue simbólicamente:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]=[(n+1)ℂ(m+1)]

Si se desarrolla la suma en términos de factoriales, se tiene:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]={n!/[m!(n-m)!]}+{n!/[(m+1)!(n-m-1)!]}

Luego, factorizando n!/m!, la expresión cambia por:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]=(n!/m!){[1/(n-m)!]+{1/[(m+1)(n-m-1)!]}}

La suma que queda al interior de los corchetes puede desarrollarse como sigue:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]=(n!/m!)[(m+1)(n-m-1)!+(n-m)!]/[(m+1)(n-m-1)!(n-m)!]

Es posible dividir la suma del numerador en la expresión desarollada por el factor (n-m-1)! que ya se halla en el denominador de la fracción, de tal forma que se observe:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]=(n!/m!)[(m+1)+(n-m)]/[(m+1)(n-m)!]

Con ello se simplifica el numerador:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]=(n!/m!)(n+1)/[(m+1)(n-m)!]

Efectuando el producto con el factor n!/m!, queda:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]=(n+1)!/[(m+1)!(n-m)!]

Justamente el valor (n-m)! es idéntico al valor [(n+1)-(m+1)]! (puede simplificarse para observar lo dicho), por lo cual es posible decir que:

[nℂm]+[nℂ(m+1)]=[(n+1)ℂ(m+1)]

Comprobando la validez de la hipótesis.


26 de Diciembre de 2012

RESOLUCIÓN GENERAL DE LAS PARADOJAS


FÓRMULAS DE OMNIPOTENCIA

Se plantea la paradoja de la omnipotencia de la siguiente manera:

«Sea una entidad omnipotente la cual puede crear un objeto con el cual ni siquiera esta entidad pueda interactuar (aún siendo omnipotente).»

En realidad su planteamiento lógico suficiente se tiene que realizar por medio de lógica de primer orden. En ese sentido las fórmulas que se pudieren plantear no mantienen la sentencia «la entidad es omnipotente» como parte de su suficiencia por lo que se tiene debe definir en esta lógica este concepto.

Así queda:

e(ω(e)↔∀o(c(e,o)Λi(e,o))), o bien, ∀eωe∀oΛceoieo

donde ω(e) (o ωe) es la entidad e es omnipotente, o es el objeto, c(e,o) (o ceo) es la entidad e crea al objeto o y i(e,o) (o ieo) la entidad e interactúa con el objeto o. Se observa claramente que la omnipotencia como sentencia queda independiente de la lógica de primer orden y por tanto se generan fórmulas que completen la definición de omnipotencia.

Con ello se puede vislumbrar que el planteamiento de la paradoja de la omnipotencia depende de asumir como parte de la suficiencia de la lógica al concepto de omnipotencia. Se plantea ahora la fórmula con la cual quedaría esta paradoja:

e(ω(e)↔∃o(c(e,o)Λ¬i(e,o))), o bien, ∀eωe∃oΛceo¬ieo

Este problema resulta de contradecir la proposición inicial que define la omnipotencia. No obstante tampoco constituye parte de la suficiencia de la lógica en la cual se analiza. Sea un sistema S para el cual la definición de omnipotencia es consistente. Si el sistema S es consistente por hipótesis, la definición será verdadera y en consecuencia el problema posterior queda falso. Lo mismo ocurre si se considera consistente a S con el problema pues así sería la definición una proposición falsa.

Entonces no hay forma de entender la razón de la paradoja sino porque al comienzo se asumía verdadera la sentencia la entidad e es omnipotente y se la consideraba como parte de la suficiencia de la lógica. Esta asunción es una proposición indecidible (la suficiencia lógica no tiene que ver con ello) para ambas proposiciones y por ello es la confusión (se asumía verdadera cuando en realidad era indecidible). Esto remite a la resolución general de paradojas que resuelve las paradojas al identificar las proposiciones “verdaderas” como indecidibles.

RESOLUCIÓN GENERAL

Se tiene una proposición que contradice a otra siendo que deberían ser consistentes estas:

r↔p (o ↔rp) es una fórmula de válida para la lógica de primer orden.

p↔q (o ↔pq) se tiene que la proposición necesariamente implica otra fórmula.

q↔¬r (o ↔q¬r) la siguiente proposición se tiene como verdadera.

p↔¬r (o ↔p¬r) la proposición contradice la primera fórmula.

Entonces se ha planteado el esquema general de paradojas. Al igual que con las fórmulas de omnipotencia, esto se puede analizar de forma tal que se halle la consistencia de las proposiciones respecto a un sistema de axiomas. Se sugiere un sistema S. La fórmula r↔p (o ↔rp) resulta consistente con S. Necesariamente, y dada la suficiencia de la lógica de primer orden, la proposición p↔¬r (o ↔p¬r) queda inconsistente, o sea, la primera proposición (por hipótesis) queda verdadera y la última queda falsa.

Con esto último se tiene que alguna de las proposiciones que permiten llegar a partir de la fórmula inicial a una contradicción influye en la formación de la paradoja. Por hipótesis, nuevamente, se supone que q↔¬r (o ↔q¬r) es inconsistente con S y consistente con la última proposición, por lo cual la segunda fórmula, p↔q (o ↔pq), debe ser responsable de la paradoja. Supóngase que esta proposición no puede hallarse verdadera o falsa, esto porque tanto ésta como su falsedad son indecidibles. Entonces en realidad es que se asume verdadera de forma inicial a esta proposición y debería considerarse como indecidible.

Todas las paradojas se originan a partir de proposiciones indecidibles que se asumen verdaderas, esto respecto a un sistema por medio del cual se analiza la veracidad de las proposiciones restantes de la paradoja.

9 de Agosto de 2011

SISTEMAS GENÉRICOS


Algunos sistemas formales, dentro de los conocidos y descritos por la Lógica formal, son particularmente notables pues persiguen estructuras que normalmente se utilizan para formalizar diversas situaciones provenientes de la experiencia, de la sugerencia sobre la experiencia, o sobre la no experiencia, el misticismo. A estos sistemas se les llamará genéricos.

SISTEMA GENÉRICO A

Sea un sistema formal donde sus axiomas son todos implicaciones cuya consecuencia es siempre la misma. Esto es:

↔Ψ1Φ
↔Ψ2Φ
↔Ψ3Φ...
↔ΨnΦ son los axiomas.

Obsérvese que de este sistema se pueden deducir implicaciones biunívocas como ↔Ψ7Ψ3 o ↔Ψ4Ψ2, etc. hasta ↔ΨnΨn-1.

Teorema I. Hay un número nℂ2 (combinatorio) de teoremas del tipo ↔ΨrΨs , con r diferente de s, en el sistema genérico A. Demostración:

Ψr premisa
Φ a partir del sistema A.
Ψs del mismo sistema.
Ψs tomando la consecuencia como premisa.
Φ a partir del sistema A.
Ψr del mismo sistema.
↔ΨrΨs inferida. Con ello sólo basta calcular el número de combinaciones según sea el de axiomas en el sistema.

SISTEMA GENÉRICO B

Sea una proposición del tipo →ΦΣ. Al admitir ésta como axioma y juntarla con el sistema A, se obtiene el sistema genérico B. En él existen n teoremas del tipo →ΨrΣ. Se pueden adjuntar cualquier número de sentencias de este tipo y se tendrá aún un sistema B.

SISTEMA GENÉRICO C

Cuando un sistema B presenta además un modelo conocido, y dentro de los axiomas del sistema B hay sentencias cuyo objeto asociado y perteneciente al universo del modelo presenta un número de valoraciones menor a otro dado, se trata de un sistema C. La facultad de categorizar el número de valoraciones respecto a otro dado permite establecer, junto al sistema matemático pertinente, sentencias probabilísticas. Así, una sentencia puede ser valorable con baja o alta probabilidad, esto según sea menor o mayor, respectivamente, el número de valoraciones según el valor conocido. Es claro que la probabilidad de las sentencias valorables con baja probabilidad presentan una probabilidad menor a ½.

SISTEMA GENÉRICO D

Cuando dentro del mismo sistema C se construyen sentencias que evalúan a las sentencias probabilísticas, se tiene un sistema D. Un ejemplo de sistema genérico D es aquel que permite decir al tener una probabilidad menor a ½ se habla de una sentencia poco probable (o rara) en sus valoraciones.

SISTEMA GENÉRICO E

Los sistemas genéricos D que permiten deducir teoremas entorno a las valoraciones correspondientes son sistemas del tipo E. Un ejemplo de teorema es el decir que las valoraciones correspondientes a las sentencias poco probables en sus valoraciones son fantásticas. Nótese que se prescinde del principio de cientificidad [PC, De la ciencia formal, 22 de Diciembre de 2011; 22 de Diciembre de 2012 en este blog] en la definición de los sistemas genéricos descritos. Además también es notable que un sistema E es necesariamente del tipo A, B, C, y D.

SISTEMA GENÉRICO F

Los sistemas formales que presentan un modelo, de los genéricos descritos al momento o no, y que no presentan valoraciones correspondientes son llamados del tipo F. En realidad no presentan modelo como tal porque no presentan valoraciones, sino que presentan objetos asociados y correspondientes que pertenecen a una clase denominada pseudouniverso. Entonces se habla de un pseudomodelo.

SISTEMA GENÉRICO G

Un sistema genérico F con estructura semejante a un sistema E, es decir, un sistema E sin valoraciones (con pseudomodelo) es un sistema genérico G. En este caso como se carece de valoraciones correspondientes, el ejemplo no puede ser expuesto como teorema. En su lugar, lo más válido queda como todo aquello correspondiente a las sentencias poco probables en sus correspondencias es mágico. Nótese que prescindir del PC no implica agregar el término mágico de inmediato.

La mayoría (si no es que todos) los sistemas formales reconocidos pertenecen a alguna de las categorías aquí expuestas de sistemas genéricos. Las disposiciones sobre los términos fantástico o mágico han sido intencionales y pretenden formalizarlos, a la vez que refieren las diferencias lógicas entre cada una de sus acepciones. Por lo mismo, los sistemas genéricos permiten formalizar la manera de análisis de la realidad, ya sea por valoraciones fantásticas o mágicas, o bien, por valoraciones científicas, experimentales, según el PC.

9 de Junio de 2012