Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

·

La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

·

sábado, 20 de julio de 2013

LO QUE INVOLUCRA EL LÍMITE


Karl Weierstraβ descubrió aquello
que el límite involucra.


La presente exposición también
puede leerse aquí.


LA SIMBOLOGÍA DE LA “PROXIMIDAD”.

Para el número 3 podría decirse que el 4 es una cantidad “próxima”, lo mismo que el 2. Tanto el 4 como el 2 difieren del 3: el 2 difiere del 3 en 1 porque 2+1=3; el 4 difiere del 3 en 1 porque 3+1=4.

Para el número 3 podría decirse que el 3+ζ es una cantidad “próxima”, lo mismo que 3-ζ. Tanto el 3+ζ como el 3-ζ difieren del 3: el 3-ζ difiere del 3 en ζ porque (3-ζ)+ζ=3; el 3+ζ difiere del 3 en ζ porque (3)+ζ=3+ζ.

Para el número a podría decirse que el a+ζ es una cantidad “próxima”, lo mismo que a-ζ. Tanto el a+ζ como el a-ζ difieren del a: el a-ζ difiere del a en ζ porque (a-ζ)+ζ=a; el a+ζ difiere de a en ζ porque (a)+ζ=a+ζ.

Se conoce f(a). Como en f(x)=x+7, f(2)=2+7=9; ó f(a)=a+7.
Como en f(x)=x2-3·x+1, f(1)=12-3·1+1=-1; ó f(a)=a2-3·a+1.
Como en f(x)=m·xn+z·xp+w·xq, f(a)=m·an+z·ap+w·aq.
Como en f(x)=2x, f(3)=23=8; ó f(a)=2a.
Como en f(x)=zx, f(2)=z2=8; ó f(a)=za.
Como en f(x)=log2(x), f(8)=log2(8)=3 porque log2(23)=3; ó f(2n)=log2(2n)=n.
Como en f(x)=logz(x), f(z2)=logz(z2)=2 porque logz(z2)=2; ó f(zn)=logz(zn)=n.
Como en f(x)=sen(x), f(π/4)=sen(π/4)=21/2/2; ó f(a)=sen(a).
Como en f(x)=cos(x), f(π/6)=cos(π/6)=31/2/2; ó f(a)=cos(a).
Como en f(x)=|x|, f(-6)=|-6|=6; ó f(a)=|a|=a, ó f(-a)=|-a|=a.

Se conoce f(a) y también es un número.

Los números sólo deducen números porque f es una función, la idea entre dos conjuntos de números tales que los del primer conjunto sean respectivos a al menos uno del segundo.

Se conoce f(a) y podría decirse que f(a)+ξ es una cantidad “próxima”, lo mismo que f(a)-ξ. Tanto el f(a)+ξ como el f(a)-ξ difieren del f(a) en ξ porque [f(a)-ξ]+ξ=f(a); el f(a) difiere del f(a)-ξ en ξ porque [f(a)]+ξ=f(a).

Se conoce f(a+ζ) y podría decirse que el f(a)+ξ es la misma cantidad. Porque en f(x)=x2, f(a+ζ)=(a+ζ)2=a2+2·a·ζ+ζ2, es decir, f(a+ζ)=f(a)+2·a·ζ+ζ2 pues f(a)=a2. Así, ξ=2·a·ζ+ζ2.

Porque en f(x)=2x, f(a+ζ)=2a+ζ=2a+2a·(2ζ-1), es decir, f(a+ζ)=f(a)+2a·(2ζ-1) pues f(a)=2a. Así, ξ=2a·(2ζ-1).

Porque en f(x)=sen(x),
f(a+ζ)=sen(a+ζ)=sen(a)+sen(a)·[cos(ζ)-1]+sen(ζ)·cos(a), es decir, f(a+ζ)=f(a)+sen(a)·[cos(ζ)-1]+sen(ζ)·cos(a).
Así ξ=sen(a)·[cos(ζ)-1]+sen(ζ)·cos(a).

Porque en f(x), f(a-ζ)=f(a)-[f(a)-f(a-ζ)]. Así, -ξ=f(a)-f(a-ζ).

Se conoce f(a-ζ) y podría decirse que el f(a)-ξ es la misma cantidad.

Porque en f(x), f(a+ζ)=f(a)-[f(a)-f(a+ζ)]. Así, ξ=f(a)-f(a+ζ).

Se conoce f(a+ζ) y podría decirse que el f(a)+ξ es la misma cantidad.

Para el número 3 podría decirse que existen cantidades que difieran de éste en |ζ|. Estas cantidades son 3+ζ y 3-ζ.

Para el f(a) podría decirse que existen cantidades que difieren de éste en |ξ|. Estas cantidades son f(a)+ξ y f(a)-ξ. Y ξ existe porque ζ también existe. Y |ξ| existe porque |ζ| también existe. Porque ξ=f(a)-f(a+ζ). Porque -ξ=f(a)-f(a-ζ).


LA SIMBOLOGÍA DEL LÍMITE O DEFINICIÓN FORMAL DEL LÍMITE.

Para el número 3 podría decirse que existen cantidades más “próximas” a él que 3-ζ y 3+ζ. Estas cantidades son 3-ζ0 y 3+ζ0, siendo que ζ0 implica menos cantidad que ζ. Siendo que ζ0 (ζ0 es menor que ζ). Siendo que -ζ$-ζ0. Siendo que |ζ0|$|ζ|.

Para el número a podría decirse que existen cantidades más “próximas” a él que a-ζ y a+ζ. Estas cantidades son a-ζ0 y a+ζ0, siendo que |ζ0|$|ζ|.

Para f(a) podría decirse que existen cantidades más “próximas” a él que f(a)-ξ y f(a)+ξ. Estas cantidades son f(a)-ξ0 y f(a)+ξ0, siendo que |ξ0|$|ξ|.

Si a+ζ0 es más próxima a a que a+ζ, y f(a+ζ0)=f(a)+ξ0 es más próxima a f(a) que f(a+ζ)=f(a)+ξ, es porque tanto |ζ0|$|ζ| como |ξ0|$|ξ|.

Si tanto |ζ0|$|ζ| como |ξ0|$|ξ|, entonces al “aproximarse” x a a también f(x) se “aproxima” a f(a). Entonces, cuando x tiende a a, también f(x) tiende a f(a). Entonces, cuando x→a, f(x)→f(a).

Pero x no es igual que a. Tampoco f(x) es igual que f(a). Porque también 0$|ζ0|.

Si tanto 0$|ζ0|$|ζ| como |ξ0|$|ξ|, entonces existe el límite para f(x) cuando x→a.


REGLAS DEDUCTIVAS: EL CÁLCULO DEL LÍMITE

Sea f(x)=5·x+2.

En general, f(a)=5·a+2.

Si 0$|ζ|,

f(a+ζ)=5·(a+ζ)+2=5·a+5·ζ+2=f(a)+5·ζ
f(a-ζ)=5·(a-ζ)+2=5·a-5·ζ+2=f(a)-5·ζ

Entonces, tanto ξ=5·ζ como -ξ=-5·ζ.

Para f(x) cuando x→3,

f(3+ζ)=5·(3+ζ)+2=17+5·ζ=17+ξ
f(3-ζ)=5·(3-ζ)+2=17-ζ=17-ξ

También

f(3+ζ0)=5·(3+ζ0)+2=17+5·ζ0=17+ξ0
f(3-ζ0)=5·(3-ζ0)+2=17-5·ζ0=17-ξ0

Supóngase que 0$|ζ0|$|ζ|. Entonces

ζ0 y -ζ$-ζ0
ζ0$ζ y -ζ$-ζ0
ξ0$ξ y -ξ$-ξ0
|ξ0|$|ξ|

Tanto |ζ0|$|ζ| como |ξ0|$|ξ| se cumplen. Entonces existe el límite para f(x)=5·x+2 cuando x→3.

El límite existe y se calcula por f(3+ζ)-ξ, pues se pretende llegar a f(3) de forma “aproximada” y f(3+ζ)-ξ=[f(3)+ξ]-ξ es señal de dicha “aproximación”.

El límite existe y se calcula por f(3+ζ)-ξ=17+ξ-ξ=17.

O bien,

límx→3 f(x)=límx→3 (5·x+2)=17

***

Sea f(x)=x2/x.

En general, f(x)=x2/x.

Si 0$|ζ|,

f(a+ζ)=(a+ζ)2/(a+ζ)=a+ζ
f(a-ζ)=(a-ζ)2/(a-ζ)=a-ζ

Entonces, tanto ξ=ζ como -ξ=-ζ.

Para f(x) cuando x→0,

f(0+ζ)=(0+ζ)2/(0+ζ)=0+ζ=0+ξ
f(0-ζ)=(0-ζ)2/(0-ζ)=0-ζ=0-ξ

También

f(0+ζ0)=(0+ζ0)2/(0+ζ0)=0+ζ0=0+ξ0
f(0-ζ0)=(0-ζ0)2/(0-ζ0)=0-ζ0=0-ξ0

Supóngase que 0$|ζ0|$|ζ|. Entonces

ζ0 y -ζ$-ζ0
ξ0$ξ y -ξ$-ξ0
|ξ0|$|ξ|

Tanto |ζ0|$|ζ| como |ξ0|$|ξ| se cumplen. Entonces existe el límite para f(x)=x2/x cuando x→0.

El límite existe y se calcula por f(0+ζ)-ξ, pues se pretende llegar a f(0), que no existe porque cualquier división entre 0 –como 02/0– es absurda, de forma “aproximada”. El límite existe y se calcula por f(0+ζ)-ξ=0+ξ-ξ=0, aunque f(0) no exista. Al “aproximarse” a un pretendido f(0) por medio de f(0+ζ), se encuentra que cada vez se acerca más x a 0 pero nunca llega a ser x=0.

O bien,

límx→0 f(x)=límx→0 x2/x=0

***

Sea f(x)=|x|.

En general, f(a)=|±a|=a.

Si 0$|ζ|,

f(a+ζ)=|a+ζ|=a+ζ=f(a)+ζ
f(a-ζ)=|a-ζ|=a-ζ=f(a)-ζ

Entonces, tanto ξ=ζ como -ξ=-ζ.

Para f(x) cuando x→0,

f(0+ζ)=|0+ζ|=0+ζ=0+ξ
f(0-ζ)=|0-ζ|=0+ζ=0+ξ, porque |0-ζ|=|-ζ|.

También

f(0+ζ0)=|0+ζ0|=0+ζ0=0+ξ0
f(0-ζ0)=|0-ζ0|=0+ζ0=0+ξ0

Supóngase que 0$|ζ0|$|ζ|. Entonces

ζ0 y -ζ$-ζ0, pero de ambas situaciones sólo se presenta la primera.
ξ0$ξ

Si |ζ0|$|ζ|, sólo ξ0$ξ se cumple (no se cumple |ξ0|$|ξ|).

Entonces no existe el límite para f(x)=|x| cuando x→0.

***

Sea f(x)=1/x.

En general, f(a)=1/a.

Si 0$|ζ|,

f(a+ζ)=1/(a+ζ)=1/a-ζ/(a+ζ)=f(a)-ζ/(a+ζ)
f(a-ζ)=1/(a-ζ)=1/a+ζ/(a-ζ)=f(a)+ζ/(a-ζ)

Entonces, tanto ξ=-ζ/(a+ζ) como -ξ=ζ/(a-ζ).

Para f(x) cuando x→0,

f(0+ζ)=1/(0+ζ)=1/0-ζ/(0+ζ)
f(0-ζ)=1/(0-ζ)=1/0+ζ/(0-ζ),

pero en ningún caso 1/0 es válido (cualquier división entre 0 es absurda).

Por lo tanto, como no es posible demostrar que tanto 0|$|ζ| como |ξ0|$|ξ| se cumplen, entonces no existe el límite para f(x)=1/x cuando x→0.

***

Sea f(x).

En general, f(a) es conocida.

Si 0$|ζ|,

f(a+ζ)=f(a)+h(ζ)
f(a-ζ)=f(a)-h(ζ)

Entonces, tanto ξ=h(ζ) como -ξ=-h(ζ).

Para f(x) cuando x→b,

f(b+ζ)=z+ξ
f(b-ζ)=z-ξ, según los valores de ξ=h(ζ) y -ξ=-h(ζ) conocidos.

También

f(b+ζ0)=z+ξ0
f(b-ζ0)=z-ξ0

Supóngase que 0$|ζ0|$|ζ|. Entonces

ζ0 y -ζ$-ζ0 y
|ξ0|$|ξ| se deduce.

Tanto |ζ0|$|ζ| como |ξ0|$|ξ| se cumplen. Entonces existe el límite para f(x) cuando x→b.

El límite existe y se calcula por f(b+ζ)-ξ, pues se pretende llegar a f(b) de forma “aproximada” y f(b+ζ)-ξ=[z+ξ]-ξ es señal de dicha “aproximación”.

El límite existe y se calcula por f(b+ζ)-ξ=z+ξ-ξ=z.

O bien,

límx→b f(x)=f(b+ζ)-ξ=z

Si no se deduce de |ζ0|$|ζ| que |ξ0|$|ξ| se cumple, entonces no existe el límite para f(x) cuando x→b.

***

Puede no existir el límite para cierto valor, pero ello no implica que no pueda existir para otros valores. De las funciones que se ha demostrado no tienen límite cuando x→0, puede demostrarse que existe el límite cuando, por ejemplo, x→1:

Sea f(x)=|x|.

En general, f(a)=|±a|=a.

Si 0$|ζ|,

f(a+ζ)=|a+ζ|=a+ζ=f(a)+ζ
f(a-ζ)=|a-ζ|=a-ζ=f(a)-ζ

Entonces, tanto ξ=ζ como -ξ=-ζ.

Para f(x) cuando x→1,

f(1+ζ)=|1+ζ|=1+ζ=1+ξ
f(1-ζ)=|1-ζ|=1-ζ=1-ξ

porque existe ζ tal se que cumpla |1-ζ|=1-ζ
(ejemplo, ζ=0.1, donde |1-0.1|=|0.9|=0.9=1-0.1).

También

f(1+ζ0)=|1+ζ0|=1+ζ0=1+ξ0
f(1-ζ0)=|1-ζ0|=1-ζ0=1-ξ0

Supóngase que 0$|ζ0|$|ζ|. Entonces

ζ0 y -ζ$-ζ0
ξ0$ξ y -ξ$-ξ0
|ξ0|$|ξ|

Tanto |ζ0|$|ζ| como |ξ0|$|ξ| se cumplen. Entonces existe el límite para f(x)=|x| cuando x→1.

El límite existe y se calcula por f(1+ζ)-ξ, pues se pretende llegar a f(1) de forma “aproximada” y f(1+ζ)-ξ=[f(1)+ξ]-ξ es señal de dicha “aproximación”.

El límite existe y se calcula por f(1+ζ)-ξ=1+ξ-ξ=1.

O bien,

límx→1 f(x)=límx→1 |x|=1

***

Sea f(x)=1/x.

En general, f(a)=1/a.

Si 0$|ζ|,

f(a+ζ)=1/(a+ζ)=1/a-ζ/(a+ζ)=f(a)-ζ/(a+ζ)
f(a-ζ)=1/(a-ζ)=1/a+ζ/(a-ζ)=f(a)+ζ/(a-ζ)

Entonces, tanto ξ=-ζ/(a+ζ) como -ξ=ζ/(a-ζ).

Para f(x) cuando x→1,

f(1+ζ)=1/(1+ζ)=1/1-ζ/(1+ζ)=1-ζ/(1+ζ)
f(1-ζ)=1/(1-ζ)=1/1+ζ/(1-ζ)=1+ζ/(1-ζ),

También

f(1+ζ0)=1/(1+ζ0)=1-ζ0/(1+ζ0)=1+ξ0
f(1-ζ0)=1/(1-ζ0)=1+ζ0/(1-ζ0)=1-ξ0

Supóngase que 0$|ζ0|$|ζ|. Entonces

ζ0 y -ζ$-ζ0
1+ζ0$1+ζ y 1-ζ$1-ζ0
1/(1+ζ)$1/(1+ζ0) y 1/(1-ζ0)$1/(1-ζ)
-1/(1+ζ0)$-1/(1+ζ) y -1/(1-ζ)$-1/(1-ζ0)
0/(1+ζ0)$-ζ/(1+ζ) y -ζ/(1-ζ)$-ζ0/(1-ζ0),

porque si a$b (como ζ0) y c$d (como -1/(1+ζ0)$-1/(1+ζ)), entonces a·c$b·d remarcan los productos la desigualdad (como 0/(1+ζ0)$-ζ/(1+ζ)).

ξ0$ξ y -ξ$-ξ0
|ξ0|$|ξ|

Tanto |ζ0|$|ζ| como |ξ0|$|ξ| se cumplen. Entonces existe el límite para f(x)=1/x cuando x→1.

El límite existe y se calcula por f(1+ζ)-ξ, pues se pretende llegar a f(1) de forma “aproximada” y f(1+ζ)-ξ=[f(1)+ξ]-ξ es señal de dicha “aproximación”.

El límite existe y se calcula por f(1+ζ)-ξ=1+ξ-ξ=1.

O bien,

límx→1 f(x)=límx→1 1/x=1


TEOREMAS DE LÍMITES

Teorema 1: Si límx→b f(x) y límx→b g(x) existen,

límx→b f(x)+límx→b g(x)=límx→b [f(x)+g(x)].

Demostración:

Si límx→b f(x) y límx→b g(x) existen,
límx→b f(x)=f(b+ζ)-ξ1 y límx→b g(x)=g(b+ζ)-ξ2.

Luego,
límx→b f(x)+límx→b g(x)=f(b+ζ)-ξ1+g(b+ζ)-ξ2=[f(b+ζ)+g(b+ζ)]-(ξ12)

Considerando ξ12=ξ3, límx→b f(x)+límx→b g(x)=[f(b+ζ)+g(b+ζ)]-ξ3 y esto último equivaldría al cálculo de límx→b [f(x)+g(x)], o bien, el teorema se cumple.

Nótese que si límx→b [f(x)+g(x)] existe, también deben existir los límites de la suma pues se tiene un ξ3 que puede mostrarse como una suma ξ12 que en algún intento permita la representación del cálculo de los límites
límx→b f(x) y límx→b g(x).

***

Teorema 2: Si límx→b f(x) y límx→b g(x) existen,

límx→b f(x)·límx→b g(x)=límx→b [f(x)·g(x)].

Demostración:

Si límx→b f(x) y límx→b g(x) existen, límx→b f(x)=f(b+ζ)-ξ1 y
límx→b g(x)=g(b+ζ)-ξ2.

Luego, límx→b f(x)·límx→b g(x)=f(b+ζ)·g(b+ζ)-ξ1·g(b+ζ)-ξ2·f(b+ζ)+ξ1·ξ2, o bien,

límx→b f(x)·límx→b g(x)=[f(b+ζ)·g(b+ζ)]-[ξ1·g(b+ζ)+ξ2·f(b+ζ)-ξ1·ξ2]

Considerando ξ1·g(b+ζ)+ξ2·f(b+ζ)-ξ1·ξ2=ξ3,
límx→b f(x)·límx→b g(x)=[f(b+ζ)·g(b+ζ)]-ξ3 y esto último equivaldría al cálculo de límx→b [f(x)·g(x)], o bien, el teorema se cumple.

Nótese que la existencia de ξ3 en el cálculo del límite límx→b [f(x)·g(x)] implica la existencia de los límites límx→b f(x) y límx→b g(x).

***

Teorema 3: Si límx→b f(x) y límx→b g(x) existen y límx→b g(x) es diferente de 0,

límx→b f(x)/límx→b g(x)=límx→b [f(x)/g(x)].

Demostración:

Si límx→b f(x) y límx→b g(x) existen, límx→b f(x)=f(b+ζ)-ξ1 y
límx→b g(x)=g(b+ζ)-ξ2.

Luego, límx→b f(x)/límx→b g(x)=[f(b+ζ)-ξ1]/[g(b+ζ)-ξ2], o bien,

límx→b f(x)/límx→b g(x)=[f(b+ζ)/g(b+ζ)]+(ξ1-ξ2)/[g(b+ζ)-ξ2]

Considerando -(ξ1-ξ2)/[g(b+ζ)-ξ2]=ξ3,
límx→b f(x)/límx→b g(x)=[f(b+ζ)/g(b+ζ)]-ξ3 y esto último equivaldría al cálculo de límx→b [f(x)/g(x)], o bien, el teorema se cumple.

Obsérvese que límx→b g(x) tiene que ser diferente de 0 para no conducir a un absurdo.

La existencia de ξ3 en el cálculo del límite límx→b [f(x)/g(x)] garantiza, como en los casos anteriores, la existencia tanto de límx→b f(x) como de
límx→b g(x).

***

Teorema 4: Si límx→b f(x) existe,

[límx→b f(x)]n=límx→b f(x)n.

Demostración:

Si límx→b f(x) existe, se cumple que, por supuesto, para n=1 el teorema es válido.

Según el teorema 2,

[límx→b f(x)]2=[límx→b f(x)]·[límx→b f(x)]=[límx→b f(x)·f(x)]=límx→b f(x)2.

Asimismo,

[límx→b f(x)]3=[límx→b f(x)]2·[límx→b f(x)]=[límx→b f(x)2]·[límx→b f(x)]
[límx→b f(x)]3=[límx→b f(x)2·f(x)]=límx→b f(x)3.

Si se sabe que [límx→b f(x)]n-1=límx→b f(x)n-1, como en los casos anteriores será válido que

[límx→b f(x)]n=[límx→b f(x)]n-1·[límx→b f(x)]=[límx→b f(x)n-1]·[límx→b f(x)]
[límx→b f(x)]n=[límx→b f(x)n-1·f(x)]=límx→b f(x)n.

Esto demuestra válido el teorema para los números naturales.

También ocurre que, de acuerdo al teorema 2 y con p y q naturales, suponiendo que n=p+q,

[límx→b f(x)]p+q=[límx→b f(x)]p·[límx→b f(x)]q=
=[límx→b f(x)p[límx→b f(x)q]=[límx→b f(x)p+q]
[límx→b f(x)]n=límx→b f(x)n

Y también ocurre que, de acuerdo al teorema 3 y con p y q naturales, suponiendo que n=p-q,

[límx→b f(x)]p-q=[límx→b f(x)]p/[límx→b f(x)]q=
=[límx→b f(x)p]/[límx→b f(x)q]=[límx→b f(x)p-q]
[límx→b f(x)]n=límx→b f(x)n

Esto demuestra válido el teorema para números enteros negativos (por la existencia de -q).

Suponiendo que p=q, sean enteros negativos o positivos,

[límx→b f(x)]p-p=[límx→b f(x)]p/[límx→b f(x)]p=1
[límx→b f(x)]0=límx→b f(x)0 según se demostró anteriormente.
límx→b 1=1

Esto demuestra válido el teorema para todos los números enteros. Además, demuestra que el límite de la constante 1 es igual a ésta.

De acuerdo al teorema 4 válido para todos los número enteros, suponiendo que n=p·q,

[límx→b f(x)]p·q={[límx→b f(x)]p}q=[límx→b f(x)p]q=[límx→b {f(x)p}q]=[límx→b f(x)p·q]
[límx→b f(x)]n=límx→b f(x)n

Y de acuerdo al teorema 4 válido para todos los número enteros, suponiendo que n=p/q,

[límx→b f(x)]p/q={[límx→b f(x)]p}1/q=[límx→b f(x)p]1/q=[límx→b {f(x)p}1/q]=[límx→b f(x)p/q]
[límx→b f(x)]n=límx→b f(x)n

Esto demuestra válido el teorema para todos los números racionales.

Todos los números son expresables por medio de cifras decimales, por ejemplo el número π=3.1415926... A su vez, todos los números pueden representarse en forma de sumas de otros números, para el ejemplo π=3+1/10+4/100+1/1000+5/10000+9/100000... Las sumas tienen como sumandos sólo números racionales.

Entonces, si n del teorema 4 es un número cualquiera (real), podría expresarse como la suma de distintos números racionales. Se ha observado que el teorema 4 es válido para exponentes de números racionales y, por consiguiente, también para las sumas de números racionales (esto es una implicación del teorema 4 como lo es en el caso de la suma de números naturales). Por lo tanto, para cualquier n, el teorema 4 es válido.

***

Teorema 5. Si límx→b f(x) y límx→b g(x) existen,

logz[límx→b f(x)+límx→b g(x)]=límx→b logz[f(x)+g(x)].

Demostración:

Según el teorema 1, logz[límx→b f(x)+límx→b g(x)]=logz{límx→b [f(x)+g(x)]}.

Demostrándose que logz{límx→b [f(x)+g(x)]}=límx→b logz[f(x)+g(x)] también se demuestra la validez del teorema.

Asimismo, como f(x)+g(x) puede representarse como otra función, f(x)+g(x)=j(x), sólo bastaría con demostrarse que
logz[límx→b j(x)]=límx→b logz[j(x)] para garantizar la validez del teorema en cuestión.

Entonces:

Sea p(x)=logz[j(x)].

En general, p(a) es conocida mientras 0$j(a) (el logaritmo de un entero no positivo es un absurdo).

Si 0$|ζ|,

p(a+ζ)=logz[j(a)]+logz[j(a+ζ)]-logz[j(a)]=logz[j(a)]+logz[j(a+ζ)/j(a)]
p(a-ζ)=logz[j(a)]+logz[j(a-ζ)]-logz[j(a)]=logz[j(a)]+logz[j(a-ζ)/j(a)]

Asimismo j(a+ζ)=j(a)+ε y j(a-ζ)=j(a)-ε ó j(a+ζ)=j(a)-ε y j(a-ζ)=j(a)+ε, eso dependiendo de si al aumentar el valor de a, aumenta el valor de j(x) o disminuye, respectivamente (obsérvese que si aumenta el valor de f(x), se adiciona ε; si disminuye el valor de f(x), se adiciona ).

Entonces, tanto ξ=logz{[j(a)+ε]/j(a)}=logz[1+ε/j(a)]
como -ξ=logz{[j(a)-ε]/j(a)}=logz[1-ε/j(a)], ó
tanto -ξ=logz{[j(a)+ε]/j(a)}=logz[1+ε/j(a)]
como ξ=logz{[j(a)-ε]/j(a)}=logz[1-ε/j(a)]

Para p(x) cuando x→b,

p(b+ζ)=logz[j(b)]+ξ
p(b-ζ)=logz[j(b)]-ξ, pues la deducción para p(a) resulta equivalente para b.

También

p(b+ζ0)=logz[j(b)]+ξ0
p(b-ζ0)=logz[j(b)]-ξ0

Supóngase que 0$|ζ0|$|ζ|. Entonces

ζ0 y -ζ$-ζ0
b+ζ0$b+ζ y b-ζ$b-ζ0
j(b+ζ0)$j(b+ζ) y j(b-ζ)$j(b-ζ0), ó j(b+ζ)$j(b+ζ0) y j(b-ζ0)$j(b-ζ)

j(b+ζ0)/j(b)$j(b+ζ)/j(b) y j(b-ζ)/j(b)$j(b-ζ0)/j(b),
ó j(b+ζ)/j(b)$j(b+ζ0)/j(b) y j(b-ζ0)/j(b)$j(b-ζ)/j(b)

Si el primer caso, j(b+ζ0)$j(b+ζ) y j(b-ζ)$j(b-ζ0), se presenta, es porque mientras mayor es x (como en b+ζ0$b+ζ puede distinguirse), mayor resulta j(x) (como resulta expresarse con j(b+ζ0)$j(b+ζ) y j(b-ζ)$j(b-ζ0)). De ello, j(b)+ε0$j(b)+ε y j(b)-ε$j(b)-ε0, y se deduce que ε0 y -ε$-ε0. En este primer caso, la característica descrita de la función j(x) se refiere como «la función j(x) es creciente».

Si el segundo caso, j(b+ζ)$j(b+ζ0) y j(b-ζ0)$j(b-ζ), se presenta, es porque mientras mayor es x, menor resulta j(x). De ello, j(b)+ε$j(b)+ε0 y j(b)-ε0$j(b)-ε, y se deduce que ε$ε0 y -ε0$-ε. En este segundo caso, la característica descrita de la función j(x) se refiere como «la función j(x) es decreciente».

Es sabido que logz(z2)$logz(z3) porque sería 2$3.
En general, si p$q y 0$z, logz(zp)$logz(zq).

Del primer caso,

ε0 y -ε$-ε0
ε0/j(b)$ε/j(b) y -ε/j(b)$-ε0/j(b)
1+ε0/j(b)$1+ε/j(b) y 1-ε/j(b)$1-ε0/j(b)
logz[1+ε0/j(b)]$logz[1+ε/j(b)] y logz[1-ε/j(b)]$logz[1-ε0/j(b)]
ξ0 y -ξ$-ξ0
|ξ0|$|ξ|

Del segundo caso,

ε$ε0 y -ε0$-ε
ε/j(b)$ε0/j(b) y -ε0/j(b)$-ε/j(b)
1+ε/j(b)$1+ε0/j(b) y 1-ε0/j(b)$1-ε/j(b)
logz[1+ε/j(b)]$logz[1+ε0/j(b)] y logz[1-ε0/j(b)]$logz[1-ε/j(b)]
-ξ$-ξ0 y ξ0
|ξ0|$|ξ|

En ambos casos, tanto |ζ0|$|ζ| como |ξ0|$|ξ| se cumplen. Entonces existe el límite para p(x) cuando x→b.

El límite existe y se calcula por p(b+ζ)-ξ, pues se pretende llegar a p(b) de forma “aproximada” y p(b+ζ)-ξ={logz[j(b)]+ξ}-ξ
ó p(b+ζ)+ξ={logz[j(b)]-ξ}+ξ, según sea el caso, es señal de dicha “aproximación”.

El límite existe y se calcula por p(b+ζ)-ξ=logz[j(b)]+ξ-ξ=logz[j(b)]
ó p(b+ζ)+ξ=logz[j(b)]-ξ+ξ=logz[j(b)].

O bien,

límx→b logz[j(x)]=logz[j(b)]

___________________________________________________

Se deducirá, por otra parte, el límite solamente de la función j(x) cuando x→b.

Ésta función ya es conocida: j(b+ζ)=j(b)+ε y j(b-ζ)=j(b)-ε.

Supóngase que 0$|ζ0|$|ζ|. Entonces,

ζ0 y -ζ$-ζ0
b+ζ0$b+ζ y b-ζ$b-ζ0
j(b+ζ0)$j(b+ζ) y j(b-ζ)$j(b-ζ0)
j(b)+ε0$j(b)+ε y j(b)-ε$j(b)-ε0
ε0 y -ε$-ε0
|ε0|$|ε|

Tanto |ζ0|$|ζ| como |ε0|$|ε| se cumplen. Entonces existe el límite para j(x) cuando x→b.

El límite existe y se calcula por j(b+ζ)-ε, pues se pretende llegar a j(b) de forma “aproximada” y j(b+ζ)-ε=[j(b)+ε]-ε es señal de dicha “aproximación”.

El límite existe y se calcula por j(b+ζ)-ε=j(b)+ε-ε=j(b).

O bien,

límx→b j(x)=j(b)

___________________________________________________

De ambas demostraciones de los límites, es fácil de entenderse que

logz[límx→b j(x)]=límx→b logz[j(x)]=logz[j(b)]

Esto último garantiza la validez del teorema 5 y constituye su demostración.

***

Teorema 6. El límite de una constante es igual a ésta. O sea límx→b k=k, donde k es la constante referida

Demostración:

Una de las consecuencias del teorema 4 es que límx→b 1=1.

El límite existe y según el teorema 1, límx→b 1+límx→b 1=límx→b (1+1)=2, o bien, límx→b 2=2.

Nuevamente, límx→b 2+límx→b 1=límx→b (2+1)=3, o bien, límx→b 3=3.

Teniéndose un límx→b k=k válido, como límx→b 2=2 ó límx→b 3=3, es posible efectuar lo siguiente: límx→b k+límx→b 1=límx→b (k+1)=k+1. Por lo tanto, si el resultado (y por lo tanto, el teorema 6) es válido para k=2, debe resultar válido para cualesquiera números naturales.

Asimismo, puede efectuarse lo siguiente:
límx→b 1-límx→b 1=límx→b (1-1)=0, o bien, límx→b 0=0. También puede restarse límx→b 1 de forma consecutiva como anteriormente se hizo a partir del 2. Esto implica que el teorema 6 resulte válido para todos los números enteros.

Aparte, sean p y q dos números enteros y q diferente de 0.

Entonces límx→b p/límx→b q=límx→b p/q=p/q de acuerdo al teorema válido para los números enteros. Esto demuestra que el teorema 6 es válido para los números racionales.

Finalmente, ya se ha expuesto que los números reales pueden expresarse como sumas de números racionales. Entonces el teorema 6 resulta válido para cualesquiera números reales.

Podría sugerirse otra opción de deducción, siendo que la función f(x)=k podría expresarse para calcular su límite. Sin embargo al intentarlo se obtiene lo siguiente:

Sea f(x)=k.

En general, f(a)=k.

Si 0$|ζ|,

f(a+ζ)=k=f(a)+0
f(a-ζ)=k=f(a)-0

Entonces, tanto ξ=0 como -ξ=0.

Para f(x) cuando x→b,

f(b+ζ)=k=k+ξ
f(b-ζ)=k=k-ξ

También

f(b+ζ0)=k=k+ξ0
f(b-ζ0)=k=k-ξ0

Supóngase que 0$|ζ0|$|ζ|. Entonces

ζ0 y -ζ$-ζ0
b+ζ0$b+ζ y b-ζ$b-ζ0
k+ξ0$k+ξ y k-ξ$k-ξ0

Pero esto es contradictorio, pues tanto ξ=0 como ξ0=0; no puede ser posible k$k.

Esto, además, contradice la existencia del límite marcado por el teorema 6. No obstante, el teorema no es inválido: no se ha deducido en el teorema 6 que límx→b f(x)=k cuando f(x)=k, sino que límx→b k=k.

El teorema 6 no asume que la constante sea un objeto participante en una función, un objeto perteneciente a un conjunto y por el cual exista una idea respecto a otro conjunto con números, sino que el límite de la constante debe ser del mismo valor que ésta como consecuencia de que existan funciones cuyo límite sí existe.

El teorema 6 sólo permite dar una definición coherente al límite de una constante.


CONTINUIDAD

Una función f(x) es continua para un valor x=b cuando se cumplen las tres condiciones:

1. El valor f(b) existe.
2. El límite de f(x) cuando x→b existe.
3. límx→b f(x)=f(b).

La continuidad refiere a que partiendo de un valor x=b con su respectivo valor f(b), no importando cuán “próximo” esté otro valor x=b+ζ ó x=b-ζ, existirá uno f(b+ζ) ó f(b-ζ). Esto expresa que no hay interrupción entre x=b con su f(b) y x=b+ζ con su f(b+ζ), o bien x=b-ζ con su f(b-ζ).

Estas tres condiciones permiten asegurar que dicha interrupción no se presente.

Es necesario que el valor de f(b) exista porque de no existir, esto mismo constituiría una interrupción.

Es necesario que el límite de f(x) exista cuando x→b, para que un valor x=b+ζ también tenga un valor f(b+ζ) existente, lo mismo que x=b-ζ y
su f(b-ζ).

Es necesario que límx→b f(x)=f(b) porque el límite indica cuál es la tendencia esperada de f(x) cuando x→b. Si esta tendencia no es equivalente a f(b), entonces no es como se esperaba y se identifica así una interrupción. Si se conoce f(b) y el límite de dicha función existe, se esperaría que el siguiente valor sin interrupción fuese f(b+ζ), o que el valor anterior sin interrupción fuese f(b-ζ).

Es comprensible que si una secuencia de valores ininterrumpidos (siempre con la posibilidad de existir 0|$|ζ|) desde uno dado x=b y otro dado x=c son presentan continuidad, entonces la función f(x) sea continua en el intervalo comprendido por los valores señalados.

En otras palabras, una función f(x) es continua para un intervalo entre x=b y x=c (el intervalo se señala como [b,c]) cuando el continua para cada valor en el intervalo.

A continuación se exponen algunos casos de continuidad y discontinuidad para distintas funciones:

***

Sea la función f(x)=x2. Se desea saber si es continua para x=0.

1. El valor f(0) existe. Porque f(0)=02=0.
2. El límite de f(x) cuando x→0 existe.

Sea f(x)=x2.

En general, f(a)=a2.

Si 0$|ζ|,

f(a+ζ)=(a+ζ)2=a2+2·a·ζ+ζ2=f(a)+2·a·ζ+ζ2
f(a+ζ)=(a-ζ)2=a2-2·a·ζ+ζ2=f(a)-2·a·ζ+ζ2

Entonces, tanto ξ=2·a·ζ+ζ2 como -ξ=-2·a·ζ+ζ2.

Para f(x) cuando x→0,

f(0+ζ)=(0+ζ)2=0+ζ2=0+ξ, pues ξ=ζ2 cuando a=0.
f(0-ζ)=(0-ζ)2=0+ζ2=0-ξ, pues -ξ=ζ2 cuando a=0.

También

f(0+ζ0)=0+ζ02=0+ξ0
f(0-ζ0)=0+ζ02=0-ξ0

Supóngase que 0$|ζ0|$|ζ|. Entonces

ζ0 y -ζ$-ζ0
ζ022 porque de ambas circunstancias se deduce lo mismo.
ξ0$ξ y -ξ0$-ξ porque tanto ξ=ζ2 como -ξ=ζ2.
|ξ0|$|ξ|

Tanto |ζ0|$|ζ| como |ξ0|$|ξ| se cumplen. Entonces existe el límite para f(x)=x2 cuando x→0.

El límite existe y se calcula por f(0+ζ)-ξ, pues se pretende llegar a f(0) de forma “aproximada” y f(0+ζ)-ξ=[f(0)+ξ]-ξ es señal de dicha “aproximación”.

El límite existe y se calcula por f(0+ζ)-ξ=0+ξ-ξ=0.

O bien,

límx→0 f(x)=límx→0 x2=0

3. límx→0 f(x)=f(0).

En efecto, límx→0 f(x)=f(0)=0.

Como las tres condiciones de la continuidad se cumplen, se tiene que la función f(x)=x2 es continua para x=0. Es posible demostrar de manera semejante que la misma función es continua para todos sus valores existentes; esta función es continua en sí.

***

Sea la función f(x)=x2/x. Se desea saber si es continua para x=0.

1. El valor f(0) no existe. Porque f(0)=02/0 tiene una división entre 0, lo cual es un absurdo.
2. El límite de f(x) cuando x→0 existe. Se ha demostrado que así es y que su valor es 0.
3. límx→0 f(x)=f(0). No es posible que así sea porque f(0) no existe.

Como ni la primera ni la tercera condiciones se cumplen, entonces se dice que la función f(x)=x2/x no es continua para x=0, o bien, que es discontinua cuando x=0. A pesar de ello, es posible demostrarse que es continua para el resto de los valores posibles de esta función.

***

Sea la función f(x)=1/x. Se desea saber si es continua para x=0.

1. El valor f(0) no existe. Porque f(0)=1/0 tiene una división entre 0, lo cual es un absurdo.
2. El límite de f(x) cuando x→0 no existe. Se ha demostrado que así es.
3. límx→0 f(x)=f(0). No es posible que así sea porque ni el límite ni f(0) existen.

Como ninguna de las tres condiciones se cumplen, se dice que la función f(x)=1/x es discontinua para x=0. A pesar de ello y como en el caso anterior, es posible demostrar que la función es continua para el resto de sus valores posibles.

***

Sea la función f(x)=|x|. Se desea saber si es continua para x=0.

1. El valor f(0) existe. Porque f(0)=|0|=0.
2. El límite de f(x) cuando x→0 no existe. Se ha demostrado que así es.
3. límx→0 f(x)=f(0). No es posible que así sea porque el límite no existe.

Ni la segunda ni la tercera condiciones se cumplen. Esto hace que la función sea discontinua para x=0 a pesar de que f(0) y de que en realidad la función es válida para todos los números reales. Sin embargo, existe una interrupción por la “brusquedad” de su valor f(0): el límite no puede ser calculado de forma ininterrumpida, asegurándose que tanto en disminución como en aumento de x=0 la función adquiera valores como los esperados, predecibles (esto es lo que significa la falta de límite, es decir, que no es posible la predicción de los valores esperados).

***

Sea la función f(x)=x2/x tal que 1. f(0)=3 y 2. f(a)=a2/a mientras a no sea igual a 0. Este tipo de función es posible: cabe recordarse que las funciones sólo son ideas entre conjuntos tales que todos los valores de x tengan todos un valor respectivo f(x); la función propuesta cumple como tal. Se desea saber si es continua para x=0.

1. El valor f(0) existe. Porque f(0)=3.
2. El límite de f(x) cuando x→0 existe. Se ha demostrado que así es y que su valor es 0.
3. límx→0 f(x)=f(0). No es posible que así sea porque el límite vale 0, mientras que f(0)=3.

Como la tercera condición no se cumple, entonces se dice que la función f(x)=x2/x es discontinua para x=0. En este caso, la interrupción radica en la imposibilidad de predecir el valor de f(0+ζ) o de f(0-ζ) a partir del límite calculado y el conocimiento de f(0) juntos. No obstante, cuando se cambia a f(0)=0 en la definición de la función, entonces la continuidad sí existe, pues las tres condiciones de continuidad se cumplen.

***

Existen otras implicaciones entorno al límite. Valores notables para ciertas funciones. El límite tiene una amplia utilidad como herramienta predictiva. Sin embargo, son los conceptos presentados aquí los fundamentos para el desarrollo de un Cálculo, un estudio de los números, que involucre no sólo aspectos de orden y de números pertenecientes a determinados conjuntos, o aspectos de acuerdo al álgebra y sus estructuras. Se pretende que el Cálculo sea una herramienta para el estudio de los cambios en la naturaleza de los números, cómo se comportan unos de acuerdo a las propiedades de otros.

Esto último concede posibilidades ilimitadas a la Ciencia: si es posible determinarse el comportamiento de los números de esta forma, también es posible determinarse el comportamiento de otros aspectos de una forma similar, siempre que sean cuantificables; siempre que un número esté presente en un fenómeno por estudiarse.

20 de Julio de 2013