Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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miércoles, 18 de diciembre de 2013

LA MÁQUINA EVALUADORA (VERSIÓN DE CARNAVAL)



Alan Turing, quien empleando ordenadores
como objetos abstractos de propósito definido
fundó la Informática moderna.


Una máquina permitiría evaluar si otros objetos funcionan o no. La máquina evaluadora es una caja donde se introduce un objeto y de alguna forma que no interesa en absoluto se prueba si éste funciona. Si el objeto funciona, la máquina evaluadora anuncia un «Sí» en alguna pantalla o con alguna voz hipotéticamente robótica, lo cual no tiene interés alguno para el usuario del artefacto. Si el objeto no funciona, la máquina evaluadora anuncia un «No».

Por ejemplo, se introduce a la máquina un destornillador en excelentes condiciones para destornillar y se anuncia el «Sí». Luego, se introduce una manzana podrida y como ya no resulta comestible, la máquina anuncia el «No». La máquina resulta tan versátil que en ella incluso pueden introducirse ideas, objetos abstractos, u objetos físicos de cualquier tamaño: la máquina puede agrandarse tanto como lo desee el usuario. Así, la idea «la máquina evaluadora existe» se podría introducir a la máquina evaluadora y ésta arrojaría el «Sí», puesto que dicha máquina existe si ya se dijo que se introdujo la idea en ella.

Otra idea que pudiera introducirse en la máquina evaluadora sería la «Lógica», es decir, todos juntos los razonamientos más básicos con los cuales cuenta cualquier persona o máquina razonable, incluida la máquina evaluadora. Esto es, se introducen las reglas para usar el «No», el «Si..., entonces», el «Para todo» y el resto de las palabras que emplean los seres razonables (gente o artefactos). En otras palabras, se introducen todas las reglas necesarias para expresar cualesquiera «cosas» de forma razonable. Como la máquina evaluadora se ha construido en el primer párrafo del presente texto por medio de razonamientos, basta con que la Lógica exista para que la máquina evaluadora también exista. Si no existiera la Lógica, la máquina evaluadora tampoco existiría. Y, entonces, al introducir la «Lógica» a la máquina evaluadora, ésta anunciará el «Sí»: de anunciarse el «No», significaría que la Lógica no es razonable, que las «cosas» razonables no existen, que la máquina evaluadora no puede existir y que la anunciación tampoco debería existir, lo cual resultaría absurdo. Así se logra probar que la Lógica funciona y que no le falta nada para funcionar: la Lógica está completa. Esta es la noción del teorema de completitud (o suficiencia, pues todo lo que tiene la Lógica es suficiente para que ésta funcione) de Gödel. Ordinariamente se expresa el teorema de completitud de Gödel como «La Lógica es completa, es suficiente, y sólo deduce “cosas” lógicas». En efecto, si la Lógica no pudiera deducir «cosas» lógicas, es decir, frases comprensibles a todos que puedan afirmarse o negarse (como –La máquina evaluadora existe, –Sí), la máquina evaluadora no podría existir, pero eso contradeciría la existencia del primer párrafo en el presente texto.

Se tiene ahora una réplica de la máquina evaluadora para poder evaluar a la primera máquina evaluadora. Se introduce así a la primera dentro de la réplica. Para probar que la máquina evaluadora funciona por completo, la réplica tiene que introducir en ella todos los objetos existentes y observar que haya un «Sí» o un «No». Se asume, con tal de evitar controversia entre que el «Sí» o el «No» de la máquina evaluadora por evaluar es válido o no, que el aparato sí funciona por completo para todos los objetos existentes. La réplica introduce objetos diversos, ideas, abstracciones, etc., a la máquina original y después de recorrer la amplia gama de «cosas» que la ilimitada versatilidad de la máquina evaluadora permite, sólo queda un objeto por evaluar: a la máquina evaluadora original. Es más, queda otro objeto por evaluar: a la réplica de la máquina evaluadora original. Sin embargo, como se trata de una réplica, probando que la original funciona, necesariamente funciona la réplica. Y si no puede probarse que la original funciona, tampoco puede probarse que la réplica funciona. Resulta que la réplica no “halla” (no se sabe con exactitud si las máquinas evaluadoras poseen voluntad para “hallar”, y ni siquiera se sabe con precisión lo que es la “voluntad”) la forma en que la máquina original pueda evaluarse a sí misma. La máquina evaluadora, en principio, no puede introducirse a sí misma. Dada la imposibilidad de evaluar por completo a la máquina original, la réplica no anuncia ni el «Sí» ni el «No», a pesar de que se había asumido que la original sí funcionaba por completo y que debería anunciarse el «Sí». En resumen, ninguna máquina evaluadora puede ser evaluada con el «Sí» aunque funcione por completo.

Este resultado no puede evitarse de ninguna forma. Podría suponerse incluso que la máquina evaluadora es tan versátil que entre sus posibilidades está otra máquina evaluadora conectada de alguna forma como extensión de ella misma. Entonces la máquina puede introducirse a sí misma. No obstante, si el anuncio fuese «Sí», no habría forma de garantizar que esto es cierto, a pesar de que la máquina en verdad funcione por completo. No habría tal forma porque para ello se requeriría saber si la extensión de la máquina funciona. Para evaluarla sería necesario que una réplica efectuase la evaluación, y se ha observado que no existe respuesta en este caso, o que la máquina evaluase su propia extensión, pero vuelve a obtenerse el mismo resultado: no hay garantía de que el «Sí» sea válido. Además, el «Sí» tendría una validez dudosa por un segundo motivo: la extensión no puede evaluarse a sí misma y no puede conocerse si funciona por completo. Si el anuncio de la máquina evaluadora siendo evaluada por su extensión quedase «No», resultaría absurdo. Inmediatamente puede observarse la paradoja del mentiroso: si la máquina no funciona, entonces el «No» anunciado por ella misma es falso y debería ser un «Sí», pero de ser así el anuncio inicial hubiera sido el «Sí», lo cual no es cierto.

Reiterando, ninguna máquina evaluadora puede ser evaluada. Y asumiendo que la máquina evaluadora funciona, no es posible hacer un anuncio que la evalúe, ni el «Sí» ni el «No». También se observa que todas las máquina evaluadoras que funcionan no logran jamás completar todas las evaluaciones posibles. Son capaces de evaluar casi todos los objetos, ideas, abstracciones, etc., existentes, pero siempre hay al menos un objeto que no son capaces de evaluar y que es el faltante para completar todas las evaluaciones posibles. No puede haber mejor diseño de una máquina evaluadora: la construida en el primer párrafo tiene un diseño óptimo, puesto que abarca la gama de objetos por evaluar más amplia posible.

Expresando un teorema, «las máquinas evaluadoras que funcionan son necesariamente incompletas», porque siempre les hace falta al menos un objeto por evaluar, ya sea la máquina en sí misma u otras máquinas evaluadoras. Como las máquinas evaluadoras que funcionan anuncian el «Sí» o el «No» correctamente, es fácil de comprender que sean coherentes. Esto es, las máquinas evaluadoras que funcionan no mienten porque el anuncio que hacen es verdadero en todos los casos, salvo cuando se trata de evaluarse a sí mismas o a otras máquinas evaluadoras. Aunque en este caso no exista anuncio, ni «Sí» ni «No», la máquina no está mientiendo: no hay anuncio porque las máquina evaluadoras nunca logran terminar el proceso de evaluación de ninguna máquina evaluadora. Se considera también que las máquinas evaluadoras están incompletas porque siempre hay un anuncio (verdadero, porque se asume que las máquinas evaluadoras funcionan y por ello son coherentes) faltante.

Las máquinas evaluadoras pueden concebirse como obras construidas con los ladrillos de la Lógica. Son, aunque no constituye su función –que es evaluar si un objeto funciona o no–, también estructuras lógicas porque sólo anuncian o un «Sí» o un «No». De hecho, cualquier «cosa» que anuncie sólo el «Sí» o sólo el «No» es una máquina evaluadora. Quizá no evalúe que un objeto funcione o no, pero puede evaluar, por ejemplo, si una idea es verdadera o falsa. Los mismos resultados observados en cuanto a la incompletitud de las máquinas evaluadoras se obtienen para cualquier estructura lógica que sólo anuncie o el «Sí» o el «No». Entonces, para cualquier estructura lógica coherente, que no miente, (como las máquinas evaluadoras) siempre será imposible anunciar el «Sí» y el «No» de al menos una idea, sea cual sea el criterio por afirmar o negar. En general, todas las estructuras lógicas coherentes son incompletas; siempre hay criterios imposibles de ser negados o afirmados. Esto último se conoce como el teorema de incompletitud de Gödel.

Por lo tanto, no es posible que siendo coherentes, sin llegar a paradojas –contradicciones–, tal y como lo hacen las máquinas evaluadoras que funcionan y que necesariamente son coherentes, se puedan hacer siempre anuncios verdaderos de «Sí» o «No», pues al menos habrá uno que aun siendo verdadero, como el «Sí [funciona la máquina evaluadora]», no pueda emitirse. Por consiguiente, la Lógica sólo da lugar a la construcción de «cosas» lógicas, pero no al anuncio de todas las verdades.

No solamente las aseveraciones que se refieran a las máquinas evaluadoras definidas en el primer párrafo reflejan la incompletitud de las mismas. Por ejemplo, supóngase que existe el objeto (real o abstracto) que contiene a todos los objetos, ideas o abstracciones existentes, excepto a sí mismo. A este objeto se le denomina el Universo. La máquina evaluadora, por supuesto, se halla contenida por el Universo, el mismo que contiene tanto al tiempo como al espacio, a la vida misma, a los “Multiversos” deducidos por teorías cosmológicas diversas, a la Lógica, y todo aquello presente en la Naturaleza. Si se desea que la máquina evalúe al Universo, será imposible: si lo evalúa sólo sería como un objeto más grande que él, y para ello tendría que dejar de ser contenido por el Universo, situación que no es posible porque el Universo, tal y como se lo ha definido, contiene todos los objetos existentes. Si un objeto no está contenido por el Universo, es porque no existe. Y la máquina evaluadora debe de existir para evaluar al Universo. Se ha encontrado un ejemplo de objeto que no puede ser evaluado por las máquinas evaluadoras, al igual que ellas mismas. No sólo esto: la incompletitud existe porque el Universo después de todo funciona igual que una máquina evaluadora, es decir, funciona de forma coherente. O de otra forma, el Universo funciona de forma coherente (situación que no alcanzó nunca a comprender Albert Einstein) porque contiene a la Lógica que además lo construye. Como las máquinas evaluadoras no pueden evaluar al Universo, no es posible saber si el Universo funciona, aunque esté funcionando. El propósito funcional del Universo quizá exista, quizá no. Cualquiera de las dos aseveraciones es coherente, puesto que no importando si tal propósito existe o no, es imposible evaluarlo.

Nótese que las máquinas evaluadoras nunca han abandonado el ámbito de las ideas. Las máquinas evaluadoras son abstracciones aquí sugeridas, y por ello el teorema de incompletitud de Gödel es válido para ellas (el teorema es válido sólo para las estructuras lógicas coherentes, que al fin y al cabo son sólo ideas). No obstante, las máquinas evaluadoras pueden ser construidas. Cualquier ordenador es capaz de anunciar el «Sí» o el «No» sobre cualquier idea que le sea programada, pero siempre le faltará anunciar el «Sí» o el «No» sobre algún aspecto quizá insospechado.

Finalmente, el cerebro, que es comúnmente figurado como un ordenador, también es susceptible del teorema de incompletitud de Gödel. El cerebro puede evaluarse a sí mismo. Las personas son capaces de concebir, gracias a su cerebro, si tienen éxito en la vida o no, si son expertos en algún ámbito o no, si son mentirosas o no... Existe una gran variedad de anuncios del tipo «o Sí, o No» que las personas pueden admitir porque el cerebro lo permite. Cuando el cerebro se evalúa a sí mismo no importando el criterio, actúa como una máquina evaluadora que se evalúa a sí misma. Ha de recordarse que en este caso la máquina evaluadora se observaba o bien con una veracidad dudosa, o bien, incoherente. Por lo tanto, el cerebro permite la incoherencia mientras funciona. Esto no es extraño: la gente suele actuar de forma absurda e inexplicable –se cometen locuras–. Pero más allá de evitar las locuras, la orientación puede ir en sentido inverso: estimular la construcción de ordenadores que permitan el anuncio de absurdos, es decir, tanto el «Sí» como el «No» cuando debería ser únicamente el «Sí» o el «No». Después de todo, el cerebro resulta razonable porque suele emitir anuncios coherentes, o en otras palabras, el cerebro es muy probablemente coherente, razonable. La mayor parte del tiempo el cerebro no anuncia absurdos. Y quizá el cerebro pueda anunciar el «No» una vez cuando debería anunciar el «Sí», pero anuncia el «Sí» un gran número de ocasiones posteriores. Es fácil de entender que la respuesta más probablemente correcta sea el «Sí». Esto lleva a inferir que la actuación de los ordenadores a la manera que lo hace el cerebro lleva a la descripción probabilística de la veracidad o falsedad de sus anuncios. La construcción de ordenadores semejantes al cerebro quizá conlleve a la tan esperada construcción de robots con la posibilidad de tener una aparente voluntad y una conciencia.

25 de Octubre de 2013

[Esta entrada participa en la VIII Edición del Carnaval de Humanidades alojado por @MartaMachoS en el blog ZTFNews.org]