Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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lunes, 13 de enero de 2014

UN MOTIVO DE INCERTIDUMBRE: UN ASUNTO INDISCUTIBLE


[Esta entrada participa en la XLVIII Edición del Carnaval de la Física alojado por @monzonete en el blog La Aventura de la Ciencia] 


Indiscutiblemente, cuando Andrea estaba en la habitación la mantenía encendida. No importaban los apagones –como le ocurrió en ocasiones por alguno imprevisto–, de inmediato se encendía la lámpara de emergencia. También de emergencia Andrea encendía una vela, el teléfono portátil o, incluso, un encendedor. Cuando ella no estaba en la habitación ningún tipo de luz se presentaba, ni siquiera el destello de alguna falsa luciérnaga.

No era un temor a la obscuridad lo que motivaba a Andrea a mantener tal estado de alumbrado permanente con ella, incluso cuando dormía acompañada por una lamparilla nocturna, sino una cuestión de principio: en la habitación escondida no alcanzaban a llegar ni el Sol ni la Luna, ni un reflejo intermitente salido de un espejo casual actuando como satélite. Por lo tanto, Andrea y la luz en dicha habitación eran una misma cosa y no podía pensarse en Andrea sin pensarse en la habitación iluminada. Tampoco podía pensarse en la luz ahí sin pensarse en Andrea. Demasiado era el asilamiento de ese espacio, que ni siquiera ella podía contemplar la idea de escuchar la radio, de ver el televisor, o de recibir alguna llamada que nunca estuviera esperando. El vecino de enfrente, aficionado a las rarezas, intuyó, primero alguna relación de causa y efecto entre Andrea y la luz en la habitación. Después, confirmó su hipótesis tras cerciorarse del horario de la vecina, de ponerlo a prueba y entender que, en efecto, detectar cualquier rastro de luz, por mínimo que fuese, proveniente de la habitación era evidencia incuestionable de su presencia ahí. Ninguna otra persona tenía entrada en el lugar, y cualquier ladrón buscaría mantener a obscuras su crimen.

A..., el vecino, pensó que a pesar de aun existir y estar ella en su habitación, tendría que transcurrir cierto tiempo para que Andrea existiera según él, una vez detectada alguna luz proveniente de la recóndita habitación. Así lo pensó porque sabía que la luz no era cosa inmediata aunque así pudiera cotidianamente parecerlo. Entonces, para él, Andrea sólo existía una vez observada alguna luz huidiza. Mientras la luz estuviera en camino hacia sus ojos, para él Andrea sería sólo un motivo de incertidumbre. Daría lo mismo pensar que ella estuviera o no en la habitación. En tales circunstancias habría una probabilidad del cien por cien de encontrarla, pues ahí estaría, sin embargo también habría una probabilidad del cien por cien de no encontrarla, pues no habría ninguna luz observada. A... jamás olvidaba que Andrea en la habitación y la luz en la habitación eran una misma cosa. La existencia de Andrea sería segura, completamente cierta, para ella. Su inexistencia sería la única opción para él.

Tan inaccesible era la habitación que A... no sabía siquiera el nombre de su vecina, ni siquiera si se trataba de un vecino o una vecina, ni mucho menos los pensamientos de ella. Andrea era para A... un objeto distante, sin voz, inanimado y cuyas únicas señales de existencia provenían de una luz demasiado esquiva. Una luz falsa: si Andrea no se encontraba en la habitación, A... no lo sabía sino después de un breve tiempo. Sin nombre ni identidad, A... le dio un nombre e identidad a partir de esa luz por momentos incomprensibles en su mensaje incierto.

Un día, Andrea encendió una luz tan tenue que resultaba casi inobservable. No obstante, A... podía verla porque él era sensible a las cosas raras, a esos «casi» que suelen presentarse en la vida. Y lo que vio lo sorprendió: la luz llegaba a cuentagotas de tan tenue que era. A veces estaba Andrea en la habitación y a veces no, ambas opciones alternadas ordenadamente. Eso era para A..., pero Andrea estuvo todo el tiempo en la habitación, acompañada por una luz tan fina que fraccionada se veía, pero siempre siendo ambas una misma. La situación resultó aún más impresionante para A..., porque en los instantes donde él aparentemente no percibía por esa luz a Andrea manifestada, eran los instantes necesarios para que ella sí existiera, reconociendo que se necesitaba de algún tiempo para observar las manifestaciones de Andrea existiendo en la habitación. Asimismo, mientras A... alcanzaba a ver la luz más tenue del Universo, Andrea dejaba de existir: la luz se encontraba apagada en donde ella no se encontraba, pero esto no podía observarlo A... de inmediato por hallarse distante. Para él, Andrea siempre existía y no existía simultáneamente en la ignorada habitación. Para Andrea, ella y la luz era una misma revelación, aunque a cuentagotas se presentara la última.

Terminó aquel día y A... se encontraba más confundido sobre la naturaleza desconocida de Andrea. A pesar de comprender que la luz podía ir a cuentagotas como el agua corre en un grifo mal bloqueado o con un caudal semejante al del Amazonas, y a pesar de entender que el recorrido de la luz no era inmediato (en sí la luz tenía un recorrido), se vio obnubilado por esa Andrea que él se formó difusa en la mente y que era en realidad una suerte de fantasía relativa a él, más no a Andrea. Podíase incluso tener un río de Andreas gemelas cruzando el corredor entre Tokio y Yokohama, asemejando a la luz en su apariencia continua, pero ninguna de todas ellas se vería fraccionada en un mar de existencia difusa, probable e improbable a la vez, sólo porque su luz partiera a cuentagotas. Pensó y pensó. Pensó en ella como nunca había pensado en nadie. Pensó y pensó. Penso en ella como un fantasma viviente. Pensó y pensó. Y de tanto pensar transcurrió toda su vida, casi un siglo.

En todo ese tiempo no volvió a observarla así, tan incierta. Entonces el hecho cada vez le resultaba más extraño e intrigante. Un día despertó con una idea alucinante: aquel fantasma en la habitación realmente era alguien (o algo) completo, que nunca dejó de existir, en ningún instante, siempre en el mismo lugar. La impresión de inexistencia acerca del objeto provenía de él en su distante casa, y de él pensando que Andrea dejaba de existir cuando él no la veía. La imaginó vestida con sólo dos blusas (o dos camisas, o cubierta por algo), con una gemela idéntica (o un gemelo), tan inherente como ella a la luz. Si las dos se daban la mano, una de ellas tendría la blusa rosa y la otra la blusa verde. Y si él pensaba que tanto Andrea como su gemela no existían cuando la luz no pudiese observarse, si ambas se saludasen emitiendo luces a cuentagotas él creería que ambas tendrían la misma blusa a la vez. Y cuando dejasen de saludarse, y la gemela abandonase la habitación, muy lejos, tan lejos que estuviera muy cerca de él, tan cerca, tan adentro de su propia casa, la podría observar con su blusa verde y la otra Andrea necesariamente tendría la blusa rosa, de forma inmediata, y de forma inmediata existiría la Andrea original. No habría recorrido alguno entre el color de la blusa verde y el color de la blusa de la Andrea en la habitación. La luz llegaría después encendida y seguría diciendo que ambas Andreas no existirían y existirían a la vez. Así que A... siguió imaginándose atónito ante una rareza observable, una rareza observable absurda.

No obstante, él ya había despertado, muy viejo, con la idea sobre una Andrea siempre existente, y sería igualmente así su gemela, y la luz a cuentagotas sería una muestra mal interpretada de la existencia de ellas. La luz no sería muestra de existencia o inexistencia, sino de haber existido o no. Y esa luz, tan intrínseca a Andrea, sólo hablaría diciendo que ella hubo existido, y que quizá en el ahora de la observación ella podría seguir existiendo. La blusa verde de la gemela no estaría contradiciendo a la luz que las representaba a ambas en el pasado. Así, A... pudo morir feliz, sin problemas que temer ante una Andrea desconocida, siempre tan inaccesible, siempre tan ignorada e incomprensible (supuesta en sus características triviales), pero tan natural y explicable en sus aspectos observables, con razonamientos al margen de la habitación que hacía de Andrea y de la luz un asunto indiscutible.

12 de Enero de 2014


ON THE MEASUREMENTS AND THEIR DETERMINISTIC CONSEQUENCES


By Alfredo Salvador C. García
Mexico City

Gödel

ABSTRACT

Where the deterministic consequences of measurments solve the schism in Physics, between Quantum Mechanics and Relativity Theory.



I. INTUITIVE MEASUREMENT DEFINITION

Let be an object. Then, there is a hypothetical “box” where it is introduced. The box measures a characteristic of the object, a property. If the object fulfills the property, the box will show as a result in a screen or a panel, whatever it is, a «yes». On the contrary, if the object does not fulfill the property, the box will show a «no». This intuitive reasoning outline is called measurement. Therefore, to measure is to recognize a property from an object.

The reasoning can be symbolized in order to formalize it. Then, if f(P)=yes, the object P fulfills f(P), the property of that object. On the contrary, if f(P)=no, it means that the object does not fulfill the property. An example of measurement is the following:

There is a 15 cm stick. It is introduced in a imaginary box of 15 cm height exactly as the ruler that is joined to it marks.

Actually, the ruler has a great variety of imaginary boxes that crosses it, but that is not relevant for the measurement: the stick is introduced and fits tight the box, so the latter tells automatically to the brain «yes». That the stick do measures 15 cm.

Another measurement example is the following:

There is a soccer ball. This is introduced in an imaginary box that tells to the brain if the object inside is either spherical, or not. For the case, the box tells to the brain «yes».

It is not questioned right now which is the precision that the boxes have in both examples. In other words, if it is assumed that the boxes can make mistakes of their veredicts, then the precision is the probability of good aim. This probability is determined by the user of the measuring box. How a “good design” is confered to the boxes that the user would built with his criteria designates directly the precision of the measurements. Even when the measuring boxes are real, if the user (or the manufacturer that sells the box to the user) confers it either these or those criteria at the moment that the measurement occurs, then they will influence directly the precision of its measurements. That is, some people could say that the ball is not spherical because their boxes have a higher precision than the rest, whose boxes have a precision that is, evidently, lower.


II. UNCERTAINTY PRINCIPLE

Let us suppose there is a box that measures the precision of other measuring boxes. The corresponding symbol of this box is π( ). If the measured box presents a precision of 1, that is, never makes mistakes of its veredicts, then the box that measures will show a «yes». If the contrary situation occurs, that the box presents a precision lower than 1, then it will show a «no».

Again, when the K box is introduced to the measuring precision of 1 box (MPB1.0), it can be possible either π(K)=yes, or π(K)=no. What happens if a MPB1.0 identical in all of its aspects to the MPB1.0 evaluating the K box is introduced to the latter? Two options are possible:

1. π(MPB1.0)=yes. That means that both MPB's would be of precision 1, because they are identical in all of their aspects.
2. π(MPB1.0)=no.That means that both MPB's would be of precision lower than 1, because they are identical in all of their aspects.

If the second case occurs, it exists the possibility that the MPB1.0 measuring would have made a mistake and, as a consequence, we would not have the full certainty that the MPB's, neither of both –what is said about one is necessarily said about the other because they are identical in all of their aspects–, are of precision lower than 1. Nevertheless, neither the possibility of a precision 1 could be, because there is a «no» as an answer that would show that, actually, neither of both MPB's have a precision of 1. It is not relevant the number of measurements done: it is impossible that the MPB's in the second option would have any kind of precision.

If the first case occurs, π(MPB1.0)=yes, then there would not be any certainty that the MPB1.0 measuring has either a precision of 1 or not, because it exists the possibility that its answer were a mistake. Naturally, this talks about both MPB's. Neither the number of measurements is relevant: there is always the possibility that the «yes» were a mistake. If it were, the second option occurs. Therefore, even with the MPB's answers known, it is true the following

Theorem. «It is impossible that any MPB1.0 had any kind of precision.»

Then, either the π(K)=yes formula, or the π(K)=no formula, with K any box that is not a MPB1.0, would be no only questionable, but absurd. That is, if a user can not give any precision to the box, like the MPB's, is because the box is not measuring anything. It is impossible to the box. The argument for this is based on the measurement concept that implicates it necessarily, it has been shown with examples, the precision concept. If the box can not have any kind of precision is because no measurement can be done that permits the evaluation about the number of good aims and the number of mistakes. If the measurements were possible, it is not relevant the precision quantity, these can be made and permit the declaration of a quantity. Being impossible to declare a precision value, the box refered does not measure.

It could be suggested, on the contrary of the MPB's, that a pair of mutually identical boxes could measure if other boxes have either a precision of 0, or not. Nevertheless, this would be equivalent to have MPB's measuring a precision of 1: if the answer of the suggested boxes is «no», it would be equivalent to have a «yes» from the MPB's measuring a precision of 1. The same if the answer is «yes», it would be equivalent to a «no» of the MPB's measuring a precision of 1. To convert the suggested boxes (being them MPB0.0) into MPB1.0 ones is only a question of an attachment that even could be mental. Then, it is announced the following

Uncertainty principle. «The precision can not be neither 0, nor 1 in any measurement.»

If the Theorem is followed, the MPB's does not exist due to their lack of precision and it can not be guaranteed that the precision of other boxes that are not MPB's value either 0, or 1. The only way to get a precision value would be by measuring in many times and declaring if either a good aim is obtained, or a mistake, in each one of them. Being possible to declare the good aims until a k measurement, nothing makes sure, as a principle, that the k+1 measurement is not a mistake. The uncertainty (possibility of making a mistake) is an intrinsic question of measurements.


III. DETERMINATION PRINCIPLE

Let be a P object with a j property that shows the not-j property (a property that is not j) when is introduced in any measurement box.

Then, the P object is introduced into a box that measures if the j property is shown or not, assuming that the measurement describes the object. As it is expected, the box answers «no». What is more, the box can answer «no» in as much times as it is desired.

Firstly, the uncertainty principle implicates that even getting in many times the «no» as an answer, it exists the possibility that it were a mistake. Then it can be suggested that

1. the P object has the j property even when the measurement happens.
2. that the object has not the j property, but it has the not-j property.

Both are valid and coherent with respect to the uncertainty principle. The first implicates that the «no» of the box is a mistake. This is permited by that principle (the precision can not be 1). The second implicates that the «no» is a possible good aim. This is also permited by the same principles (the precision can not be 0).

If the first proposition is observed, it means that P has the j property because it is P, but it shows the not-j property because it is measured.

If the second proposition is observed, it means that P has the j property because it is not measured, and when it is measured it has the not-j property because it is shown.

Nevertheless, P, to continue being P, should not modificate its properties. That is why the verb «to show» is used in the definition of P. That the P object shows not-j does not implicate necessarily that it has not-j. Therefore, it is assumed the following

Determination principle. «Any object is not modified in its properties, not mattering the circumstances.»

From the same P, the fact of showing not-j when it is measured is one of its properties. If j were «to show not-j», it would implicate that P will show j (because not-j is shown and is one of the P properties) and, at the same time, that will show not-j (because j is shown, that is, «to show not-j»), and it is absurd. By this way the determination principle makes sure the possibility of the existence of objects like P that do not modify its properties, but that do modifies the presentation of them for any measurement. The determination principle makes sure that j is not a property like «to show not-j»: if P can not modify its properties, and «to show not-j» is one of them, j can not be «to show not-j» because this modifies the property «to show not-j». That j is «to show not-j» does not respect the determination principle. The j property can be only «to show not-j when P is measured».


IV. PHYSICS MEASUREMENTS. RELATIVITY OF THE WAVE-CORPUSCLE COMPLEMENTARITY

The principles that make reference to the measurements are coherent between them and that is why they will be taken to analyse the Physics measurements; the intention is to solve some of the Quantum Mechanics questions that are aparently contradictory with respect to the Relativity Theory of A. Einstein, or, what is more intriguing since the formulation of the Quantum Mechanics, that seem not to have a common sense interpretation.

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The Heisenberg's uncertainty principle indicates that it is impossible to measure with a precision of 1 and simultaneously both the velocity and the position of an object in the time-space. This, surely, is compatible (does not reach any contradiction) with the uncertainty principle expounded here. Nevertheless, the interpretations made about it are not compatible with the determination principle.

Concretely, when a photon pushes another particle, both the velocity and the position of the particle are measured. The interpretation nowadays accepted is that the particle gets itself “diffused” probabilistically through the time-space when the collision (the interaction between the photon and the particle) occurs. Then, it is impossible to determine with a precision of 1 both the particle's position and the particle's velocity simultaneously. However, Einstein observed that the particle would not be fulfilling the determination principle: it leaves its corpuscular nature and gets an ondulatory one (a probabilistic wave for the position and the velocity of the particle is formed), so that implicates a paradox endeed. The particle is exchanging its corpuscular properties for some ondulatory.

The solution to this aparent paradox is based on the following reasoning: in the same way the j property was for P even if the not-j was shown, a particle continues being corpuscular in its position and its velocity to itself, but it is shown as a probabilistic wave in the time-space to the detectors (that measures the particle).

The phrase «the particle is to itself» means that in the case we as observers took the place of the particle (if we were the particle), we would not find any change in its nature. The presentation change to the detectors not only would seem normal, but inescapably necessary. On the contrary, the perspective being us only observers makes them measure that the position and the velocity are shown as probabilistic waves. This comes to support the interpretation given by N. Bohr, affirming that both ondulatory and corpuscular natures of a particle were only «both sides of the same coin», and that both characteristics were complementary endeed. The missing aspect to be cleared was the relativity of both perspectives: who measures the probable characteristic of a particle (like the position), percibes it as a wave; who can not measure that property (like the particle –it can not measure itself, in principle–), it is shown as a corpuscle. Of course, was the invarancy of the charge and the angular moment of the particles that thing allowing the assumption of the diffusion of them percibed by the detectors. Those properties of the particle are not modified: only the velocity and the position change, these properties relative to the reference frame where they are measured.


V. PHYSICS MEASUREMENTS. EPR PARADOX SOLUTION.

It is not strange by this way that the EPR paradox would be solved as a consequence. Suggested by Einstein, Podolsky and Rosen, talks about the interaction (collision) of two electrons that are propagated as probabilistic waves, not only for their position or their time coordinates too, but for their spins, when they stop interacting. While they were interacting, their spins were different. The spins, according to the Quantum Mechanics, of a pair of electrons that are interacting can not be the same (W. Pauli's exclusion principle). The electrons only have two options for their spins: either it is 1/2, or it is -1/2. During the collision, if an electron has a 1/2 spin, the other has necessarily a -1/2 spin. However, when an electron is independent of another electron, both in their ondulatory form, neither of both spins are known because their are not measured.

The scientists reasoned that being those electrons mutually independent after the collision would implicate the lack of motives for their mutually dependece. The Quantum Mechanics deduces that, on the contrary, the spins of the electrons are complementary all the time and if the measurement of one of them is known, the spin of the other is the other of both spin values possible. The measurements confirm this: the electrons are, in all the cases at the moment observed, related by their spins. This is, even they had already interacted, the electrons continue mutually related by their spins as if they were still interacting.

Again, Einstein (that never agreed with the intuitive meaning interpretations about the Quantum Mechanics, according to the common sense) shows that the determination principle is not respected. Being the electrons independent, the collision has already happened, they should have each one independent spins, a characteristic of the also independency of the electrons. If the measurements done have as a result that the spins are dependent is due to the following: when the spins of the electrons are not measured that property becomes ondulatory with respect to the observers that could measure the electrons in their corpuscular characteristics, those invariant; with respect to the electrons, their spins are the same since the collision finished. For the electrons (that does not make, and can not make, any measurement) the spins do not get an ondulatory form, probabilistic, and they are conserved just like they are, but their presentation to the detectors do get it. For the measurers of the pair, it is only observed a spin probabilistic wave and being detected as corpuscles, the spins seem related, as if the electrons continued interacting.

Therefore, after the collision the electrons do not interact indeed, but that perspective can be percibed only by the electrons themselves; the observers can not distinguish with the ondulatory spins if the electrons continue interacting or not and could assume that they do it. To assume also that with respect to the electrons the spins get a probabilistic form is equivalent to assume that the previously defined P object showed the property not-j because it had it. It was observed that consideration was compatible with the uncertainty principle; this was the cause of the difficulty at the moment of trying to solve the EPR paradox, that is, that the electrons do were ondulatory (talking about the spins, positions and velocities) with respect to them.

One might say that the electron not interacting is not capable to percibe how the other electron spin is: they also mutually percibe them as probabilistic particles. In that way, it is impossible that they could interact, because they are not do interacting: the electrons are mutually probabilistic waves due to this lack of interactivity. The electron could find the same strange as Einstein found this fact, but it is justified by the existence of the determination principle as it has been exposed. The electron percibing its counter-electron is presented to itself as a corpuscle, and percibes its counter-electron as an uncertain object. The counter-electron is presented to itself as a corpuscle and percibes the first electron as an uncertain object. Both electrons are corpuscles of unchangeable complementary spins (due to the determination principle) even they are independent since collision ended, no observation can measure it with a full certainty (due to the uncertainty principle).


VI. PHYSICS MEASUREMENTS. UNION OF QUANTUM MECHANICS AND RELATIVITY THEORY.

The last pair of sections about physics measurements confirm that either the intepretations similar to Bohr, or similar to Einstein were only, the same as the particles being waves and corspuscles, the obverse and reverse of the same Physics. Particularly, the EPR paradox showed a clear contradiction not only with respect to the determination principle, but also with respect to the light's velocity invariance principle that implicates, as it is known at this moment, that it is the top permited in the Universe for moving objects. If two independent electrons could mutually determine their spins simultaneously (as if they were suddenly interacting), the information of one spin value would be transmited immediately, with an “inifinite”velocity –higher than light's velocity–. That is the reason Einstein had to not find coherence between his own Relativity Theory and the Quantum Mechanics, both correct according to the measurements made to confirm them.

Then, both theories are, in fact, complementary parts of the same Physics. By one side, Quantum Mechanics describe how are the objects measured (and how do they behave) with respect to who are measuring –or can measure–. The Relativity Theory explains how are the objects observed (and also how do they behave) with respect to themselves. The formulation of the uncertainty and determination principles let us find the link between these two theories, the most representative of nowadays Physics and, at the same time, let unite them. For example, with that proposal it is easy to explain why Relativity Theory seems to have an absolute dominance over the big (massive) objects description, while Quantum Mechanics seems to be prohibited for that description.

That is because a particle has the ambivalent characteristic that determines it, to be wave when it is observed and to be a corpuscle with respect to itself. If the number of particles increases, the uncertainty over the position and the velocity measured together decreases. If this happens, all of them are manifested less ondulatory with respect to the detectors and, therefore, more corpuscular. In that way it is, that a common size object, compounded by a various number of particles, is not only observed corpuscular to itself, but also with respect to the observers. Then, the corpuscular nature seems to dominate for massive objects and because this nature is described by the Relativity Theory exclusively, it seems to be valid only for the explanation of massive objects, but actually it is valid in all the corpuscular cases, either massive objects, or particles manifested to themselves. Furthermore, Quantum Mechanics is valid in all the cases where the objects are presented as waves, that is, objects whose position and velocity uncertainty (and any property indeed) is “high”, for example, not polymeric molecules, atoms, chemical complexes, etc., and specifically for particles presented to the detectors.

The junctions previously made relating both theories move, without showing it evidently, between the perspective of particles and the perspective of detectors. One of these cases is the deduction of the anti-particles existence made by P. Dirac. It assumes, in broad strokes, that the energy is quantisized, and that a particle that passes from a negative energy region to a possitive energy region leaves a “pit” in the side with negative energy that corresponds to the anti-particle of the particle moved. A particle can only pass from one region to another because it turns into a wave: so, the particle can be found with an uncertainty value in the positive energy region and another value of uncertainty in the negative energy region; later, the particle gets a higher certainty in the region whose energy is the opposite of the original position energy and, eventually, in that region the particle gets its corpuscular nature again. Its velocity during the phenomenon can not overflow light's velocity. And that is what really happens: the particles and the anti-particles exist and have been observed in various particles reactions.

Dirac's perspective moved from the corpuscular form to respect the light's velocity limit to the ondulatory form in order to allow the movement between regions with different types of energy. What the particle would observe during its movement from a region to another is: it measures the energy in the regions, so this can not be uniform all over the space, but a wave of uncertainty through it. Then, the particle can move without difficulty between both regions because the uncertainty let it “doubt” if the energy is really there, until it gets its last position in the region with opposite energy. With respect to the particle, it never changed into an ondulatory nature; the energy in both regions did it. This do not contradict in any instant the Relativity Theory, because the particle is moving with a velocity that does not overflow light's velocity. Dirac's arguments allow the conderation of the particles as waves and corpuscles simultaneously, then it is possible to relate both Quantum Mechanics and Relativity Theory getting results that are consistent with experimental reality.


VII. CONCLUSIONS

From the intrinsic measurement principles it could be possible to solve the intuitive questions that caused a great difficulty since the creation of Quantum Mechanics. The aparent paradoxes observed arised from the paradigm contradicting the determination principle. Not to have it formally defined was the reason of the assumption that every object showed some characteristics for the measurements because they had them, but this precisely reaches contradictions not only for the Physics, but also to the elementary Logic (that P shows as properties both j and not-j).

We can still trust that both Physics theories are valid to describe reality. It is only a question of interpreting them as corresponds: Quantum Mechanics for ondulatory presentations and Relativity Theory for corpuscular presentations. Both are related by the objects that observe, but the form they observe them make appear the differences.

January 12th, 2014


SOBRE LAS MEDICIONES Y SUS CONSECUENCIAS DETERMINISTAS


De Alfredo Salvador C. García
Ciudad de México

Gödel

RESUMEN

Donde las consecuencias deterministas de las mediciones resuelven la cisma en la Física, entre Mecánica cuántica y Teoría de la relatividad.



I. DEFINICIÓN INTUITIVA DE MEDICIÓN

Sea un objeto. Aparte, se tiene una “caja” hipotética adonde éste es introducido. Dicha caja mide alguna característica del objeto, una propiedad. Si el objeto cumple la propiedad, la caja mostrará como resultado en alguna pantalla o panel, lo que fuere, un «sí». Por el contrario, si no cumple dicho objeto la propiedad, la caja mostrará un «no». Este esquema de razonamiento intuitivo es llamado medición. Por lo tanto, medir es reconocer alguna propiedad dado un objeto.

Puede simbolizarse el razonamiento con tal de formalizarlo. Así pues, si f(P)=sí, el objeto P cumple con f(P), la propiedad de tal objeto. Por el contrario, si f(P)=no, es que el objeto no cumple la propiedad. Un ejemplo de medición es el siguiente:

Se tiene una vara de 15 cm. Ésta es introducida en una caja imaginara de altura 15 cm según la regla que trae aunada dicha caja.

En realidad la regla tiene una gran variedad de cajas imaginarias que la atraviesan, pero eso no es relevante para la medición: la vara se introduce y embona perfectamente en la caja, entonces ésta le “dice” automáticamente al cerebro «sí». Que la vara sí mide 15 cm.

Otro ejemplo de medición es el siguiente:

Se tiene un balón de fútbol soccer. Éste es introducido a una caja imaginaria que le “dice” al cerebro si el objeto adentro es o no esférico. Para el caso, la caja anuncia «sí».

No se pone en duda, por el momento, con qué precisión cuentan las cajas de ambos ejemplos. En otras palabras, si se asume que las cajas pueden equivocarse en su veredicto, la precisión es con qué probabilidad aciertan. Esta probabilidad es determinada por el usuario de la caja medidora. Qué tan “buen diseño” le haya conferido a las cajas que construya el usuario con su criterio designa directamente la precisión en las mediciones. Incluso cuando las cajas medidoras son reales, si el usuario (o el fabricante que vende la caja al usuario) le confiere tales o cuales criterios al medir, influye directamente en la precisión de sus mediciones. Es así que algunos podrían decir que el balón no es esférico, esto porque sus cajas poseen una precisión mayor al resto, quienes tienen cajas cuya precisión es, por supuesto, menor.


II. PRINCIPIO DE INCERTIDUMBRE

Supóngase que hay una caja que mide la precisión de otras cajas medidoras. A esta caja le corresponde el símbolo π( ). Si la caja medida presenta una precisión de 1, es decir, nunca yerra el veredicto, entonces la caja que mide la precisión mostrará un «sí». Si ocurre lo contrario, que la caja presente una precisión menor a 1, entonces mostrará un «no».

Así, cuando la caja K es introducida a la caja medidora de precisión 1.0 (CMP1.0), puede tenerse tanto π(K)=sí como π(K)=no. ¿Qué ocurre si una CMP1.0 idéntica en todos sus aspectos a la CMP1.0 que evaluó a la caja K es introducida a esta última CMP1.0? Se tienen dos opciones:

1. π(CMP1.0)=sí. Por lo cual ambas CMP's serían de precisión 1, pues son idénticas en todos sus aspectos.
2. π(CMP1.0)=no. Por lo cual ambas CMP's serían de precisión menor a 1, pues son idénticas en todos sus aspectos.

Si el segundo caso ocurre, cabría la posibilidad de que la CMP1.0 medidora hubiese cometido un equívoco y, por consiguiente, no se tendría la certeza plena de que estas CMP's, ninguna de las dos –lo que se diga de una se dice intrínsecamente de la otra por ser idénticas en todo sus aspectos–, sean de precisión menor a 1. No obstante, tampoco cabe la posibilidad de que su precisión sea 1, pues ese «no» de la respuesta sería muestra de que, en efecto, no son de precisión 1 las CMP's. No importaría el número de mediciones por realizar: es imposible que las CMP's en la segunda opción tengan alguna precisión.

Si ocurre la primera opción, π(CMP1.0)=sí, no se tendría certeza de que la CMP1.0 medidora posea una precisión de 1 ó no, pues cabe la posibilidad de que su respuesta sea un equívoco. Naturalmente, esto habla por las dos CMP's. Tampoco importaría el número de mediciones por realizar: siempre cabe la posibilidad de que el «sí» sea erróneo. En el caso de que fuere erróneo, se presenta la segunda opción. Por lo tanto, no importando qué respuesta arrojen las CMP's, se tiene el siguiente

Teorema. «Es imposible que las CMP1.0 tengan alguna precisión.»

Entonces, tanto la fórmula π(K)=sí como la fórmula π(K)=no, siendo K cualquier caja que no sea CMP1.0, serían no sólo cuestionables, sino absurdas. Esto es, si un usuario no puede asignarle precisión a una caja, como las CMP's, es porque la caja no realiza medición alguna. Le es imposible realizarla. Esto se argumenta porque el concepto de medición implica necesariamente, y se ha mostrado con ejemplos, el concepto de precisión. Si una caja no puede tener precisión es porque no puede realizarse medición alguna que permita evaluar cuántos aciertos presenta la caja, así como cuántos equívocos. Cuando las mediciones son posibles, con cualquier valor de precisión, éstas han sido realizadas y permiten declarar que la precisión es una cantidad. Siendo imposible declarar algún valor de precisión, la caja en cuestión no mide.

Podrían sugerirse, por el contrario a las CMP's, un par de cajas idénticas entre sí que midieran si la precisión de otras cajas es 0 ó no. Sin embargo, esto equivaldría a tener unas CMP1.0: si la respuesta de las cajas sugeridas es «no», equivale a una respuesta «sí» de las CMP1.0. Asimismo, si la respuesta de las cajas sugeridas es «sí», equivale a una respuesta «no» de las CMP1.0. Convertir las cajas sugeridas (sean CMP0.0) en CMP1.0 es cuestión de un aditamento que incluso sea mental. Entonces se enuncia el siguiente

Principio de incertidumbre. «En ninguna medición la precisión puese ser 0 ó 1

Si según el Teorema no existen las CMP's por carecer de precisión, no puede garantizarse entonces que la precisión de otras cajas que no sean CMP's valga ya sea 0 ó 1. La única forma de lograr hallar un valor de precisión sería realizando varias mediciones y declarando si se obtuvo un acierto o un equívoco en cada una de ellas. Pudiéndose declarar aciertos hasta una medición dada k, nada asegura, en principio, que la medición k+1 no sea un equívoco. La incertidumbre (posibilidad de equívoco) es una cuestión intrínseca a las mediciones.


III. PRINCIPIO DE DETERMINACIÓN

Sea un objeto P con una propiedad j que al ser introducido en una caja medidora cualquiera presenta ante ella una propiedad no-j (una propiedad que no sea j).

Luego, este objeto P es introducido a una caja que mide si se presenta o no la propiedad j, asumiendo que la medición describe al objeto. Como es de esperarse, la caja responde «no». Lo que es más, la caja puede responder «no» en tantas ocasiones como se desee.

Primeramente, el principio de incertidumbre implica que aún teniéndose tantas veces como respuesta «no», existe la posibilidad de que ésta sea un equívoco. Puede entonces proponerse que

1. el objeto P posea la propiedad j aun durante la medición.
2. que no posea la propiedad j, sino que posea a la no-j.

Ambas son válidas y coherentes respecto al principio de incertidumbre. La primera implica que el «no» de la caja sea un equívoco. Esto lo permite el principio (la precisión no puede ser 1). La segunda implica que el «no» sea un acierto probable. Esto también lo permite el mismo principio (la precisión no puede ser 0).

Si la primera propuesta se acata, significa que P posee la propiedad j por ser P, pero que presenta la propiedad no-j por estar siendo medido.

Si la segunda propuesta se acata, significa que P posee la propiedad j al no ser medido, y que al ser medido posea la propiedad no-j y por ello la presente.

Sin embargo, P, para seguir siendo P, no debería modificar sus propiedades. De ahí que se empleara el verbo «presenta» en la definición de P. Que el objeto P presente no-j no implica necesariamente que posea no-j. Por lo tanto, se asume el siguiente

Principio de determinación. «Un objeto cualquiera no modifica en cualesquiera circunstancias sus propiedades.»

Del mismo P, el hecho de presentar no-j cuando es medido es una de sus propiedades. Si j fuese «presentar no-j», implicaría que P presentare j (porque no-j se está presentando y es una de las propiedades de P) y, a su vez, que presentare no-j (porque j se está presentando, es decir, «presentar no-j»), lo cual es absurdo. Así el principio de determinación asegura que sea posible la existencia de objetos como P que no modifiquen sus propiedades, pero que sí modifiquen la presentación de éstas ante cualquier medición. El principio de determinación asegura que j no sea una propiedad «presentar no-j»: si P no puede modificar sus propiedades, y «presentar no-j» es una de ellas, j no puede ser «presentar no-j» pues esto modifica la propiedad «presentar no-j». Que j sea «presentar no-j» viola el principio de determinación. La propiedad j sólo puede ser «presentar no-j cuando es medido».


IV. MEDICIONES FÍSICAS. RELATIVIDAD EN LA COMPLEMENTARIEDAD ONDA-CORPÚSCULO

Los principios que se refieren a las mediciones son coherentes entre sí y por ello se tomarán para analizar las mediciones en la Física; la intención es resolver algunas cuestiones sobre Mecánica cuántica que en apariencia son contradictorias respecto a la Teoría de la relatividad de A. Einstein, o bien, lo que ha sido más intrigante desde la formulación de la Mecánica cuántica, que parecen no tener una interpretación de acuerdo al sentido común.

***

El principio de incertidumbre de Heisenberg indica la imposibilidad de medir con precisión 1 y de manera simultánea tanto la velocidad como la posición de un objeto en el espacio-tiempo. Esto, sin duda, es compatible (no halla contradicción) con el principio de incertidumbre aquí planteado. Sin embargo, las interpretaciones alrededor suyo son incompatibles con el principio de determinación.

Concretamente, cuando un fotón impulsa a alguna otra partícula, se está midiendo tanto la velocidad como la posición de ésta. La interpretación hasta ahora aceptada es que al ocurrir la colisión (la interacción entre el fotón y la partícula), la partícula se “difunde” de manera probabilística a través de todo el espacio-tiempo. Así, es imposible determinar con precisión 1 tanto la posición de dicha partícula como su velocidad de manera simultánea. No obstante, Einstein observó que la partícula no estaría cumpliendo el principio de determinación: deja de ser corpuscular y pasa a ser ondulatoria (se forma una onda de probabilidad para la posición y para la velocidad de la partícula), lo cual implica una paradoja en sí. La partícula está modificando sus propiedades corpusculares por unas ondulatorias.

La solución a esta aparente paradoja radica en lo siguiente: así como el objeto P poseía la propiedad j aunque presentaba la no-j al ser medido, una partícula sigue siendo de posición y velocidad corpusculares respecto a ella aunque se presenta ante los detectores (medidores de la partícula) como una onda de probabilidad en el espacio-tiempo.

La frase «la partícula respecto a ella» significa que de tomar nosotros como observadores el lugar de la partícula (si nos convirtiésemos en ella) no hallaríamos cambio alguno en su naturaleza. Incluso el cambio de presentación ante los detectores nos parecería no solamente normal, sino ineludiblemente necesario. Por el contrario, la persepectiva siendo nosotros solamente observadores lleva a medir que su posición y su velocidad se presentan como ondas de probabilidad. Esto viene a apoyar la interpretación que ofreció en su momento N. Bohr, afirmando que tanto el carácter ondulatorio como el carácter corpuscular de una partícula sólo eran «dos caras de la misma moneda», y que ambas características eran así complementarias. Lo que faltó por aclarar en esta interpretación fue el carácter relativo de ambas perspectivas: para quien mide la propiedad probable de la partícula (como la posición), ésta se presenta como onda; para quien no mide dicha propiedad (como la partícula –ella misma no se mide, en principio–), se presenta como un corpúsculo. Por supuesto, lo que permitió afirmar que las partículas se “difundieran” como ondas fue la invariancia de la carga y el momento angular ante los detectores. Esas propiedades de la partícula no se modifican: sólo cambian la velocidad y la posición, propiedades relativas al marco de referencia desde donde se midan.


V. MEDICIONES FÍSICAS. RESOLUCIÓN DE LA PARADOJA EPR.

No es de extrañar que de esta forma la paradoja EPR sea resuelta en consecuencia. Planteada por Einstein, Podolosky y Rosen, propone que si dos electrones interactúan (colisionan), al dejar de interactuar se propagan como ondas de probabilidad no sólo en cuanto a la posición y sus coordenadas temporales se refiere, sino también en cuanto a su espín . Mientras interactuaban, sus espines eran diferentes. Los espines, según la Mecánica cuántica, de dos electrones que interactúan nunca pueden ser iguales (principio de exclusión de W. Pauli). Los electrones sólo tienen dos opciones de espín: ó es 1/2 ó es -1/2. Durante la colisión, si un electrón tiene espín 1/2, el otro necesariamente tiene espín -1/2. Sin embargo, al estar un electrón independiente del otro, ya en su forma ondulatoria, el espín de ninguno de ellos se conoce mientras no sean medidos.

Los tres científicos razonaron que al ser independientes dichos electrones después de haber colisionado, no habría motivo para que sus espines dependieran uno del otro. La Mecánica cuántica deduce que, por el contrario, los espines de los electrones son complementarios en todo momento posterior a la colisión, y si se conoce la medición de uno de ellos, el espín del otro resulta ser otro de los dos posibles. Las mediciones confirman esto: los electrones están, en todos los casos hasta el momento observados, relacionados por sus espines. Esto es, aun después de haber interactuado, los electrones siguen relacionados entre sí por sus espines como si aún estuvieran interactuando.

Nuevamente, Einstein (quien nunca estuvo de acuerdo con las interpretaciones ofrecidas para la Mecánica cuántica en sus significados intuitivos, según el sentido común) pone de manifiesto otra violación al principio de determinación. Porque siendo los electrones independientes ya ocurrida la colisión, deberían poseer cada uno espines independientes, característicos de la también independencia de los electrones. Si las mediciones efectuadas tienen como resultado que los espines son dependientes es por lo siguiente: cuando no se miden los espines de los electrones dicha propiedad adquiere forma ondulatoria respecto a quienes podrían medir a los electrones en sus características corpusculares, aquellas invariantes; respecto a los electrones, los espines son iguales que en el instante de haber ocurrido la colisión. Para los electrones (que no efectúan, ni pueden efectuar, medición alguna) los espines no adquieren forma ondulatoria, probabilística, y se conservan tal y como son, pero sí la adquiere su presentación ante los detectores. Para quienes pueden medirlos, sólo se observa una onda probabilística de espines y al ser nuevamente detectados como corpúsculos, los espines lucen relacionados, como si aún estuvieran interactuando los electrones.

Por lo tanto, los electrones después de la colisión efectivamente ya no interactúan, pero eso sólo pueden manifestarlo los electrones hacia ellos mismos; quienes pueden medir no logran distinguir con los electrones de espines ondulatorios si las partículas siguen interactuando o no y podrían asumir que sí lo hacen. Asumir que también respecto a los electrones sus espines adquieren forma probabilística es equivalente a asumir que el objeto P definido anteriormente presentaba la propiedad no-j porque la poseía. Se observó que tal consideración para el objeto P era compatible con el principio de incertidumbre; asimismo esto fue el motivo que no había permitido resolver la paradoja EPR, es decir, asumir que los electrones eran efectivamente ondulatorios (en cuanto a espines, posiciones y velocidades) respecto a ellos mismos.

Cabe mencionar que un electrón al no interactuar es incapaz de percibir cómo está el espín del otro: también se perciben mutuamente como partículas probabilísticas. En esa forma, es imposible que puedan interactuar, puesto que ya no se encuentran interactuando: los electrones son mutuamente ondas probabilísticas por no estar interactuando. El electrón podría hallar tan extraño como Einstein halló este hecho, pero se justifica a través del principio de determinación así como ya se ha expuesto. El electrón que percibe a su contraparte se manifiesta a sí mismo como un corpúsculo, y percibe a la contraparte como un objeto de incertidumbre. La contraparte se percibe a sí misma como un corpúsculo y percibe al primer electrón como un objeto de incertidumbre. Ambos electrones son corpúsculos de espines contrarios inmodificables (por el principio de determinación) aunque independientes a partir de la colisión, pero ninguna de las observaciones puede medirlo con la certeza debida (por el principio de incertidumbre).


VI. MEDICIONES FÍSICAS. UNIFICACIÓN DE LA MECÁNICA CUÁNTICA Y LA TEORÍA DE LA RELATIVIDAD

Estos dos últimos apartados sobre mediciones físicas confirman que tanto las interpretaciones similares a Bohr como las similares a Einstein sólo eran, así como las partículas al ser tanto ondas como corpúsculos, el anverso y el reverso de la misma Física. Particularmente, la paradoja EPR mostraba una clara violación no sólo al principio de determinación, sino también al principio de invariancia de la velocidad de la luz que implica, hasta el momento según se sabe, que ésta sea el máximo permitido en el Universo para objetos en movimiento. Si dos electrones independientes podían determinar mutuamente sus espines de manera simultánea (como si estuvieran repentinamente interactuando), la información de un espín se estaría transmitiendo de forma inmediata, a una velocidad “infinita” –superior a la de la luz–. De ahí que Einstein no hallara coherencia entre su propia Teoría de la relatividad y la Mecánica cuántica, ambas tan correctas según las mediciones elaboradas para confirmarlas.

Entonces, ambas teorías son, de hecho, partes complementarias de la misma Física. Por un lado, la Mecánica cuántica describe cómo se observan los objetos (y cómo se comportan) respecto a quienes miden –o podrían medir–. La Teoría de la relatividad explica cómo se observan (y también cómo se comportan) los objetos respecto a sí mismos. La formulación de los principios de incertidumbre y de determinación permite hallar la conexión entre las dos teorías más representativas de la Física y, a su vez, permite unificarlas. Por ejemplo, con esa propuesta es fácil de explicar porqué la Teoría de la relatividad parece tener un dominio absoluto sobre la descripción de los objetos grandes, masivos, mientras que la Mecánica cuántica parece estar vedada a éstos.

Porque una partícula posee el carácter ambivalente que la determina, ser onda cuando se la observa como medidor y ser corpúsculo respecto a ella misma. Si el número de partículas aumenta, la incertidumbre sobre la posición y la velocidad de éstas juntas disminuye. Si esto ocurre, todas ellas se manifiestan menos ondulatorias respecto a los detectores y, por lo tanto, más corpusculares. De tal forma que un objeto de tamaño habitual, compuesto por varias partículas, ya no sólo se observa corpuscular respecto al objeto, sino también respecto a los medidores. Por ello, el carácter corpuscular parece predominar en los objetos masivos y como ese carácter es descrito por la Teoría de la relatividad exclusivamente, parece estar restringida dicha teoría a explicar sólo los objetos masivos, aunque en realidad es válida en todos los casos corpusculares, tanto objetos masivos como partículas manifestadas a sí mismas. A su vez, la Mecánica cuántica es válida en todos los casos donde los objetos sean presentados como ondas, es decir, en objetos cuya incertidumbre de posición y velocidad (y cualquier propiedad en sí) es “alta”, por ejemplo, moléculas no poliméricas, átomos, complejos químicos, etc., y específicamente en partículas manifestadas ante los detectores.

Las uniones que previamente han relacionado ambas teorías transitan, sin hacerlo patente, entre la perspectiva de las partículas y la perspectiva de los detectores. Una de ellas es la deducción de las antípartículas hecha por P. Dirac. Asume, a grandes rasgos, que la energía está cuantizada y que una partícula al pasar de una región con energía negativa a otra de energía positiva deja un “hueco” en la parte de energía negativa que corresponde a la antipartícula de la partícula trasladada. Una partícula sólo puede pasar de una región a otra porque se convierte en onda: así, la partícula puede encontrarse con un valor de incertidumbre en la región de energía positiva y con otro valor de incertidumbre en la región de energía negativa; luego la partícula adquiere mayor certidumbre en la región de energía contraria a la original y, finalmente, ahí adquiere su carácter corpuscular nuevamente. Su velocidad en ese tránsito no puede rebasar la velocidad de la luz. Y así ocurre realmente: las partículas y las antipartículas existen y han sido observadas en reacciones diversas entre varias partículas.

La perspectiva de Dirac osciló entre la forma corpuscular para respetar el límite de la velocidad de la luz y la forma ondulatoria para permitir el tránsito entre regiones de energía distintas. Lo que observaría la partícula en su tránsito de una región a otra es lo siguiente: como se encuentra midiendo la energía de las regiones, ésta no es uniforme en el espacio, sino una onda de incertidumbre a través de él. Entonces puede atravesar sin dificultad las regiones donde la incertidumbre permite “dudar” que haya realmente energía en ellas. Así hasta alcanzar su posición en la región de energía contraria. Respecto a la partícula, ésta nunca adquirió carácter ondulatorio; lo adquirió la energía en ambas regiones. Y esto no contraviene en ningún instante a la Teoría de la relatividad, puesto que la partícula se mueve a una velocidad que no rebasa la de la luz. De hecho, su movimiento durante todo el tránsito se ve regido por dicha teoría, esto respecto a la partícula. Como los argumentos de Dirac permiten asimilar a las partículas como ondas y como corpúsculos, entonces le es posible relacionar tanto a la Mecánica cuántica como a la Teoría de la relatividad, obteniendo resultados consistentes con la realidad experimental.


VII. CONCLUSIÓN

A partir de los principios intrínsecos a las mediciones fue posible resolver las cuestiones intuitivas que mayor dificultad generaron desde el planteamiento de la Mecánica cuántica. Las aparentes paradojas que se presentaban surgían del paradigma que contradecía al principio de determinación. No tenerlo formalmente definido fue la causa de haber asumido que todos los objetos muestran ciertas características ante las mediciones porque así las poseen, cuando esto lleva precisamente ya no sólo a contradicciones en la Física, sino también a contradicciones lógicas elementales (que P muestre como propiedad tanto a j como a no-j).

Por lo demás, aún puede confiarse en que ambas teorías físicas sean válidas para describir la realidad. Sólo es cuestión de interpretarlas como corresponde: Mecánica cuántica para manifestaciones ondulatorias y Teoría de la relatividad para manifestaciones corpusculares. Ambas se hayan relacionadas por los objetos que observan, pero la forma en que los observan hace surgir las diferencias.

12 de Enero de 2014

[Esta entrada participa en la XLVIII Edición del Carnaval de la Física alojado por @monzonete en el blog La Aventura de la Ciencia]