Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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viernes, 7 de febrero de 2014

SOBRE LA INVALIDEZ LÓGICA DE LAS MEDICIONES PLENAMENTE VERACES Y SUS EFECTOS EN LA FÍSICA


De Alfredo Salvador C. García
Ciudad de México


Gödel



Stephen Hawking, el físico de los agujeros negros



Considérese una caja que sirve para medir una propiedad dada. Por ejemplo, un balón de color rojo es introducido a la caja que mide si el objeto en su interior es rojo o no. Dicha caja muestra, para el ejemplo, un «sí» en una pantalla hipotética, pues el balón tiene el color rojo ante ella.

Aparte, otra caja mide la propiedad j y un objeto tiene como propiedad j que «se muestre la propiedad no-j al ser medido». Entonces, el objeto posee la propiedad j, pero muestra la no-j al ser medido. Por supuesto, lo que se muestra ante la caja medidora es que el objeto «no muestra la propiedad no-j al ser medido». Si esto ocurre, ante la caja el objeto no posee la propiedad j que ha sido supuesta aquí; ante el objeto (si uno tomase el lugar del objeto) la propiedad j es una realidad en cualesquiera circunstancias.

Esta situación implica la imposibilidad de asumir que las mediciones puedan otorgar respuestas indiscutibles sobre la naturaleza de las cosas. Concretamente, objetos como aquel con la propiedad j son lógicamente posibles pues aunque la medición indica un resultado falso, el objeto no es ni mucho menos afectado por poseer la propiedad j (el objeto no realiza medición alguna y, por consiguiente, quizá ni siquiera pueda ser consciente –que perciba por sí mismo– de tal propiedad). Asimismo, la propiedad j no cambió en circunstancias cualesquiera –medido o no el objeto– lo cual constituye un principio fundamental sobre la naturaleza de los objetos, que éstos se hallan determinados en sus propiedades, lo cual quiere decir que son inmodificables sus características. A esto se le llama principio de determinación.

Podría pensarse que un objeto cambie de color con el tiempo, así como ocurre con las cosas al envejecer. No obstante, la propiedad real del objeto es cambiar de color dadas ciertas circunstancias, pero nunca podría ser el «cambiar de propiedades dadas ciertas circunstancias». Eso sería absurdo: dicha propiedad podría cambiar dadas cualesquiera circunstancias propuestas y llevaría a que sus propiedades no cambiasen en ningún caso, pero esto, contradictoriamente, ya ha ocurrido.

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La contradicción que ofrece el entrelazamiento cuántico surge como sigue: dos electrones interactúan y quedan sus espines determinados complementariamente, uno de valor 1/2 y otro de valor -1/2 (principio de exclusión de Pauli). Luego dejan de interactuar y sus espines adquieren carácter aleatorio dado el principio de incertidumbre de Heisenberg. Como ya no se hallan interactuando, no debe existir relación alguna entre el espín de uno con respecto al del otro. Entonces, al medir el espín de uno de ellos no tendría porqué existir impedimento para que fuese igual o diferente el del otro. No obstante, tanto la Mecánica cuantica como los experimentos realizados muestran lo contrario, es decir, que no importando si se hallan o no interactuando, sus espines siguen siendo complementarios como si aún estuviesen interactuando. Esto viola, además, el principio de invariancia de la velocidad de la luz, pues de éste se deduce que el límite máximo de velocidad en el Universo es precisamente la velocidad de la luz; el hecho de que la interacción entre los electrones pueda ser inmediata (transmitida a velocidad infinita porque el entrelazamientro se manifiesta de forma simultánea para ambos electrones) no concuerda con lo antes mencionado.

Como la Naturaleza no puede contradecirse a sí misma mostrando que los electrones sin interactuar siguen interactuando, se debe revisar qué paradigma origina la paradoja. Se recurre, por consiguiente, a la observación del objeto con la propiedad j. En ese caso, la medición conllevaba una paradoja, pero el objeto existía con validez lógica dado el principio de determinación: el objeto puede mostrar la propiedad no-j ante una medición y sigue cumpliendo la propiedad j; esto no es contradictorio en absoluto.

Para el caso del entrelazamiento cuántico se debe sugerir, de antemano, que los electrones mostrarían una naturaleza aleatoria para sus espines ante los objetos que los pueden medir, pero que conservan su naturaleza no aleatoria respecto a ellos mismos. Un electrón que no interactúa conserva su espín (sin interacción alguna no hay motivo para pensar que cambie su espín repentinamente) una vez terminada la interacción con el otro electrón; por supuesto, lo mismo ocurre para este último. Así, al medirse el espín de cada uno siempre resultará que son complementarios sus valores: la complementariedad manifestada durante la interacción se mantiene posterior a ella porque no hay motivo que lleve a modificarla. Esta descripción no aleatoria de los espines que no lleva a contradicción alguna sólo puede realizarse a partir de la perspectiva de los electrones. Al igual que para el objeto de propiedad j, la posibilidad de medición de los espines lleva a una descripción aleatoria que inmediatamente observa contradicción.

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La contradicción resuelta sobre el entrelazamiento cuántico –también llamada paradoja EPR por sus autores: Einstein, Podolosky y Rosen– hallaba su origen en asumir simultáneamente el principio de determinación y la premisa «toda medición, incluso con incertidumbre, da idea indiscutiblemente verdadera de la naturaleza de los objetos medidos». Como se ha observado, el principio de determinación no significa un problema, no así la premisa indicada.

Esta paradoja ha sido ampliada en la presencia de agujeros negros. Por definición, un agujero negro no permite que los objetos cercanos a él en un determinado radio (horizonte de sucesos) puedan escapar de la acción de su campo gravitacional. En otras palabras, una vez atravesado el horizonte de sucesos cualquier objeto deja de interactuar en forma definitiva con el resto del Universo que no sea parte del agujero negro.

Fue propuesto que un par de electrones interactuando y adquiriendo valores de espines complementarios, dejando de interactuar manifestarían lo que antes ha sido descrito como entrelazamiento cuántico. Entonces, si uno de los electrones –no importa a qué distancia se hallen uno del otro, el entrelazamiento sigue presentándose mientras no haya interacciones posibles– llegase a atravesar el horizonte de sucesos de un agujero negro con carga eléctrica neutra no debería, dada la definición de un agujero negro, interactuar ni siquiera por entrelazamiento con el electrón lejano al agujero.

Cuando un objeto actúa dada una interacción, su carácter final es generado por su “historia” previa, es decir, por la interacción. Entonces la información sobre dicha “historia” debe de ir aumentando a medida que se presentan más y más interacciones, así como un texto sólo puede adquirir más y más contenido sólo por la inscripción o borradura de caracteres sobre él. Para identificar la “historia” de un objeto es necesario medirlo, o bien, hacerlo interactuar con otros objetos para determinar a partir de las mediciones sus características previas, de la misma forma en que un texto sólo puede ser analizado en su historia al ser leído. En el caso de que el electrón atravesase el horizonte de sucesos, al no poder interactuar con el Universo afuera se perdería toda la información que lo caracterizaba porque no es posible medirlo para leer su “historia”. Sin embargo, parte de su “historia” es el hecho de haberse sumido en el agujero negro. Entonces, la información se ha perdido toda porque no es posible medirla, sin embargo contamos con la información porque se sabe que está sumido en el agujero. Lo que es más, sí existiría una forma de medirlo: el electrón que yace fuera del agujero y que es susceptible del entrelazamiento lo permitiría –el entrelazamiento se presenta no importando las circunstancias que no alteren el espín (por ejemplo, otros electrones con espín dado sí lo alterarían), en este caso un agujero negro–.

Dada esta contradicción, ¿existen o no los agujeros negros? ¿Son lógicamente válidos? La definición indica que la información se pierde. El entrelazamiento indica que no se pierde. A continuación se observará cómo es que en verdad no se pierde la información y que la primera perspectiva es errónea; la existencia de los agujeros negros sí es válida.

Como el electrón no ha cambiado en ninguna de sus características –según el principio de determinación–, la información realmente no se ha perdido. Se ha dicho que sí porque se ha asumido que la imposibilidad de medirlo conlleva intrínsecamente a la desaparición de la información. Sin embargo, ya se ha notado que las mediciones no son – dado los argumentos lógicos presentados y por mucho que cueste creerlo– muestra indiscutible de veracidad. Entonces, la imposibilidad de medir al electrón bajo los efectos del agujero no implica que el electrón haya dejado de existir junto con toda su información, sino simplemente que es imposible medirlo. El principio de determinación garantiza, aunque no pueda ser demostrado físicamente (la demostración lógica es una prueba parcial dado que siempre se requiere de evidencia medible para asegurar que en verdad funciona) que el electrón sigue existiendo. Más aún, es posible, dado el entrelazamiento, determinar su espín –aunque no medir puesto que no hay interacción, la cual requeriría de tener un electrón de espín conocido y si ambas partículas no pueden estar en un mismo orbital es sólo porque poseen el mismo espín– por medio del electrón afuera una vez que sea medido en su espín.

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A partir de la lógica se ha deducido cómo las mediciones no implican veracidad en sí mismas. Si esta premisa es rechazada la Mecánica cuántica adquiere coherencia lógica y compatible con los datos experimentales que, aún siendo obtenidos por mediciones, aparentemente implican veracidad. Las mediciones han gozado desde la creación del método científico un papel privilegiado para el hallazgo de la verdad. En efecto, al parecer la mayoría de las mediciones conllevan verdad. Aún así, se ha demostrado que existen casos particulares de mediciones donde la veracidad no es posible, específicamente cuando un objeto modifica las características que muestra ante la medición aunque conserve sus propiedades respecto a quien no mide –por ejemplo, él mismo–. Esto ocurre en varias de las mediciones cuánticas susceptibles del principio de incertidumbre de Heisenberg.

Es importante reconocer que a pesar de este impedimento es posible llegar a la descripción verdadera de un fenómeno por el planteamiento que ofrece el principio de determinación, al menos para las partículas. En contraste, siendo el caso del objeto con propiedad j, la determinación de su propiedad sería imposible: cada vez que interactuare con otros objetos no mostraría la propiedad correcta y sería imposible determinarla en virtud de la evidencia, asumiéndose siempre que posee la propiedad no-j. La medición o incluso determinación de la propiedad j es imposible. Asimismo, podrían existir otros objetos cuya propiedad k tampoco fuese medible o determinable, como sería el caso si k fuese «no ser medible». Así, el objeto no interactúa aunque existe; su existencia pasaría inadvertida ante cualquier medición. También podría proponerse k como «sólo interactúa (o sólo es medible) por medio del campo gravitacional». Entonces, no importando otras propiedades posibles sólo sería percibido por sus efectos gravitacionales. El objeto quedaría imposible de medirse plenamente (en todas sus características) y, sin embargo, tendría efectos sobre el Universo de los objetos que sí interactúan.

No quiere decir que todas las respuestas ante lo desconocido o lo que es difícil de medir deban ser halladas a través del cuestionamiento con propiedades k cada vez más descabelladas (aunque válidas lógicamente). Hasta el momento este tipo de razonamiento sólo ha sido útil para resolver una aparente contradicción con la evidencia física de las partículas subatómicas. Se ha observado que éstas, por ser susceptibles del principio de incertidumbre de Heisenberg, se comportan como objetos con la propiedad j, sólo que en este caso la propiedad j es «lucir no-corpuscular ante las mediciones de x propiedad en z circunstancias». Se observa que fue necesaria la producción de las mediciones x y las circunstancias z para poder encontrar la paradoja EPR, o, como se expuso anteriormente en «Sobre las mediciones y sus consecuencias deterministas», la paradoja por la dualidad onda-corpúsculo. Esto no implica que otras mediciones no puedan ser verdaderas intrínsecamente, sino que sólo algunas reflejan intrínsecamente la verdad. Es necesario continuar con las mediciones para llegar a una aparente paradoja con ellas; esto permitiría el hallazgo, si es que existen, de objetos con propiedades tipo j.

7 de Febrero de 2014

[Esta entrada participa en la XLIX Edición del Carnaval de la Física alojado por @cuantozombi en el blog El zombi de Schrödinger]