Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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sábado, 1 de marzo de 2014

ONDAS Y CORPÚSCULOS


Wolfgang Pauli, el descubridor
de la complementariedad definitiva
de los espines.


Funciones de onda del tipo Ai·sen(ωi·t+mi)+Bi·cos(ωi·t+mi) se suman, según las series de Fourier, para formar una onda semejante a una función cualquiera, dependiendo de cómo se definan Ai y Bi.

En ese sentido, la suma de todas las ondas posibles (desde i=1 hasta i=n, donde n→) podría dar lugar a una función del tipo x(t)={0, si t está en el intervalo (-∞,-a); 1, si t está en el intervalo [-a,a]; 0 si t está en el intervalo (a,∞).

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Entonces, si la función x(t) describe la posición de una partícula, la partícula se halla localizada exactamente entre -a y a, con incertidumbre 0. Sin embargo, cuando se observa a la partícula en sus componentes Ai·sen(ωi·t+mi)+Bi·cos(ωi·t+mi), carece de sentido localizar a la partícula entre cualesquiera valores dados; la componente abarca todos los valores en el intervalo (-∞,∞). Obsérvese que x(t) describe a la partícula en cuanto a su posición; en contraste, cualquiera de sus componentes describe a la partícula en cuanto a su velocidad: el valor ωi indica con que frecuencia se repite en el espacio la onda formada; son todas las posiciones que abarca la onda y ωi implica a qué velocidad las abarca. Específicamente, si la onda se repite cada cierta distancia λ, v=ωi·λ indica la velocidad a la cual la onda, y por lo tanto también la partícula que describe, abarca todas sus posiciones posibles.

La partícula descrita como la suma de sus componentes de posición es un corpúsculo. La partícula descrita sólo a partir de sus componentes es una onda. Por consiguiente, para localizar a una partícula es necesario asumir que no es una onda; para indicar a que velocidad se mueve es necesario asumir que no es una partícula. Entonces, ambas situaciones, localizar y conocer la velocidad de una partícula, no pueden llevarse a cabo simultáneamente y con exactitud plena.

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La certidumbre de haber localizado una partícula radica proporcionalmente en el número k de componentes sumadas. La incertidumbre de haber localizado una partícula se tiene Δx. Por consiguiente, la certidumbre es 1/Δx, proporcional a k. O bien, k=j/Δx, o también k·Δx=j. Ahí j es una constante de proporcionalidad.

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Al sumarse los componentes, se obtiene un nuevo componente como resultado (según el principio de superposición de ondas). Su estructura depende de otra función del tipo Ai'·sen(ωi'·t+mi')+Bi'·cos(ωi'·t+mi'), con una definición de Ai', Bi', ωi' y mi' que depende de sus componentes. Al sumarse todas las componentes posibles, la función f(x), que describe la posición de una partícula, queda con una Δω (tipo ωi'''... n veces ...') definida en términos de éstas. Dado que también depende proporcionalmente del número de componentes, se tiene

Δω=j'·k, donde j' es una constante de proporcionalidad.

Con ello es posible admitir k=j/Δx=Δω/j'. Entonces se observa que

J=j·j'=Δx·Δω

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Para las ondas que describen a una partícula, ω=2π/λ, donde λ es la longitud de onda –ya antes señalada como la distancia a la cual se repite una onda cada vez–. Aparte, la hipótesis de De Broglie (las partículas pueden observarse tanto ondulatoria como corpuscularmente –como fue señalado desde el comienzo–) sugiere que 1/λ=p/h, donde p es el momento lineal de la partícula y h es una constante de proporcionalidad involucrada, la constante de Planck para la cuantización de la energía (estrictamente, es E=h·ν para una onda de radiación térmica con frecuencia ν y energía E; Einstein amplió esta definición cuántica de la energía para cualquier tipo de radiación). Así se calcula que ω=2πp/h y, además, Δω=2πΔp/h quedaría necesariamente para la suma de todas las componentes de la función que describe en total a la partícula.

De lo anterior se deduce

J=2πΔx·Δp/h, o bien , Δx·Δp=J·h/(2π),

igualdad conocida como principio de incertidumbre de Heisenberg.

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Entonces, la incertidumbre Δx para la posición de una partícula es proporcional a la certidumbre 1/Δp para el momento lineal de la misma (y por ello, para la velocidad v, pues p=m·v siendo m la masa de la partícula, también Δp=m·Δv; para partículas sin masa, dicha relación no es válida aunque exista un valor de p, de ahí que se emplee sólo Δp). Las partículas son, ubicadas, la suma de sus componentes no localizadas (puesto que son ondas desde -∞ hasta ), que al conocerse con cada vez mayor precisión su posición –al localizarla cada vez más– se deja de conocer con precisión su velocidad, según se deduce dados los argumentos presentes. La aseveración inicialmente hecha como «ambas situaciones, localizar y conocer la velocidad de una partícula, no pueden llevarse a cabo simultáneamente y con exactitud plena» queda confirmada y, sobretodo, cuantificada.

La igualdad describe y conjunta tanto el aspecto ondulatorio (Δp) como el corpuscular (Δx) de una partícula y se observa que su relación depende de la cuantización de la energía (h) con que se mueva.

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¿Qué ocurre si se localiza con plena exactitud a una partícula? Según la ecuación obtenida, con Δx=0, Δp→∞. Eso no tiene significado físico alguno: suponiendo que la partícula tiene masa y que se mueva a la velocidad de la luz c (el máximo conocido hasta ahora en cuanto a velocidad), eso implicaría que su masa fuese inacabable (Δp=c·Δm; si Δp→∞ y c es constante, entonces Δm→∞), lo cual físicamente no tiene sentido. De ahí que la exactitud de la localización de una partícula y de su velocidad no puedan ser definitivas de forma simultánea.

Tanto Δx como Δp dependen de las mediciones realizadas acerca de una partícula (son Δx y Δp características de la incertidumbre de las mediciones de x y p), y resulta que la ecuación Δx·Δp=J·h/(2π) sólo se refiere a cómo se comporta una partícula «frente a cualquier sujeto medidor», más no garantiza saber algo siquiera sobre el comportamiento de la partícula en ausencia de medidores, por ejemplo, cuando Δx=0 (la partícula siempre “mediría” que ella misma está exactamente donde ella esta y, entonces, Δx=0 sería definitiva para ella al medir x) o cuando Δp=0 ó Δv=0 (la partícula siempre “mediría” que ella misma se mueve exactamente a la misma velocidad, a la cual se mueve ella, v=0, y, entonces, Δv=0 sería definitiva para ella al medir v). Sin realizar mediciones sólo puede saberse que la partícula existe (sería absurdo que apareciera “de la nada” sólo para ser medida, aunque podría pensarse que la medición “crea” o da lugar siempre a una aparente “cosa” que designamos como “partícula”), pero no dónde está, ni cómo va hacia donde se dirige mientras está sola.

Para saberlo se debe admitir, primero, que si la partícula está sola no puede realizarse medición alguna (ni siquiera como “experimento mental”). Luego se plantea una teoría que no se rija por las mediciones que se realicen para los objetos que estudia, es decir, debe ser determinista, donde las propiedades de los objetos son invariantes (no se modifican ante cualesquiera circunstancias). La teoría más reconocida en esos términos es, por supuesto, la Teoría de la relatividad. En su segundo postulado ,«las leyes de la Física son válidas para todos los marcos de referencia», se garantiza que es una teoría determinista –porque no importando las circunstancias (el marco de referencia) las leyes de la Física deben cumplirse (son invariantes para todos los objetos en los marcos de referencia)–.

La Mecánica cuántica, que considera a la igualdad Δx·Δp=J·h/(2π) como eje principal de sus argumentos, describe a las partículas en presencia de alguna medición. La Teoría de la relatividad, que no depende esencialmente de la igualdad indicada, describe a las partículas cuando están a solas, «respecto a sí mismas», es decir, cómo se observarían las partículas si nosotros fuésemos ellas. Los argumentos de una teoría no deben intervenir en los argumentos de la otra a menos que se observen simultáneamente las implicaciones de ambas perspectivas en un fenómeno dado.

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Por ejemplo, cuando dos electrones interactúan, de acuerdo al principio de exclusión de Pauli, uno adquiere espín -1/2 y el otro necesariamente espín 1/2. Al dejar de interactuar, según la Mecánica cuántica, se sabe a qué velocidad se mueven, y en consecuencia se desconoce dónde están, además de no saberse qué espín presenta cada una. Valdría lo mismo a que los electrones estuviesen jugando a las escondillas con un observador (a que se hallasen al interior de una caja donde no se sabe si están o no).

Sin embargo, el observador piensa que por haber dejado de interactuar los electrones, nada tendrían que ver el espín de uno ni el del otro: deben ser independientes. Si en algún instante se mide el espín de ambos simultáneamente, éstos deben ser diferentes o iguales en la misma proporción; que al medirse -1/2 y 1/2 una vez, luego se tenga que medir 1/2 y 1/2, o que tras medir dos veces consecutivas -1/2 y 1/2, se tenga que medir otras dos veces posteriores 1/2 y 1/2 consecutivamente. No obstante, los experimentos muestran que no es así como ocurre, sino que aun cuando los electrones no están interactuando pareciera que lo hacen porque sus espines son dependientes uno del otro: siempre se mide -1/2 y 1/2 y nunca 1/2 y 1/2.

Desde la perspectiva de la Teoría de la relatividad, como si fuésemos la partícula y no los observadores de ésta, los electrones al dejar de interactuar no hallarían motivo para modificar su propio espín durante todo su recorrido antes de ser medidos. Entonces llegarían con el espín invariable, intacto, a la medición. Sus espines partieron desde la interacción como -1/2 y 1/2; al no ser modificados durante su recorrido, se presentan como -1/2 y 1/2 ante la medición, nunca 1/2 y 1/2.

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Obsérvese que se tienen en cuenta ambas perspectivas para comprender el fenómeno íntegramente. Sólo así pueden analizarse los argumentos de ambas teorías, que no dependen necesariamente una de otra, pero son representativas de una misma realidad. La Mecánica cuántica deduce que inherentemente los espines de dos electrones son complementarios (1/2 y -1/2) en todo instante posterior a su interacción , pero no logra explicar porqué es así, que parecen interactuar los electrones a pesar de que éstos no se hallan interactuando supuestamente. La Teoría de la relatividad encuentra paradójica la complementariedad de los espines: si un electrón es medido con espín -1/2, inmediatamente el otro electrón se tiene con espín 1/2; si esa transmisión de la información del espín es enviada de un electrón a otro de forma inmediata, a una velocidad infinita (considerando que D es la separación entre los electrones y t es el tiempo para que la información pase de un electrón a otro, v=D/t sería la velocidad a la cual se mueve la información; si t=0 –en condiciones de inmedatez–, v→), se violaría una de las consecuencias de esta teoría: que la velocidad de la luz es el límite máximo de velocidad para cualquier objeto.

Cuando ambas teorías se observan simultáneamente se encuentra que faltaban argumentos en la Mecánica cuántica para expresar que los electrones no modificaban sus espines en ningún instante de su recorrido porque en principio así se mantienen respecto a ellos mismos, jamás debido a una interacción posterior a la interacción real. La Mecánica cuántica sólo puede expresarse en cuanto a los medidores “por fuera”, nunca a los objetos midiéndose “a sí mismos”. La Teoría de la relatividad también carece de argumentos para explicar por ella misma que no se trata de una transferencia inmediata de información sobre los espines; nunca hubo transferencia de información, sino que la información se mantuvo idéntica desde el instante final de la interacción entre los electrones hasta el instante de la medición del espín de uno de ellos.

Es necesario emplear ambas teorías en perspectiva para describir de forma completa cualquier aspecto de la realidad de las partículas. La Mecánica cuántica para interpretar lo que se está midiendo. La Teoría de la relatividad para interpretar lo que esté ocurriendo con la partícula como ente ajeno a las mediciones.

1 de Marzo de 2014