Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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sábado, 5 de abril de 2014

ACERCA DE LOS CUERPOS QUE NO INTERACTÚAN

De Alfredo Salvador C. García
Ciudad de México

Galileo Galilei, quien propuso la ley de inercia
(primera ley de Newton) y, junto con otras
contribuciones fundó la Ciencia en su forma moderna.



[Esta entrada participa en la LI Edición del Carnaval de la Física alojado por Marta Macho Stadler en el blog ZTFNews.org]

 
Se tienen dos cuerpos, 1 y 2, con momentos lineales cada uno inicialmente, p1,ii de inicial– y p2,i. Se los ha subrayado para denotar que son vectores. Ambos interactúan y posteriormente adquieren cada uno momentos lineales al final, p1,f y p2,f. Entonces se obtiene la siguiente demostración:

1. p1,i+p2,i=p1,f+p2,f, por la ley de conservación del momento lineal.
2. Δp1=p1,f-p1,i por definición.
3. p2,ip1+p2,f, se deduce.
4. p2,i=1/ξ·p2,f, se propone. Esta hipótesis es completamente válida, el cuerpo 2 con un momento final proporcional al valor del momento con el que inicialmente se movía (cualquier momento final tras una interacción es proporcional al momento inicial, y de ahí el parámetro 1/ξ).
5. Δp1=(1-ξ)·p2,i, se deduce.
6. límΔt→0p1/Δt=límf→∞ -f·Δp1=F, donde Δt es el periodo de tiempo en que se lleva a cabo la interacción de los cuerpos, f la frecuencia con que se llevaría a cabo la interacción si fuese cíclica (que se repitiera de forma consecutiva indefinidamente) –no necesariamente la interacción es cíclica–. Asimismo, F es la fuerza que actúa sobre el cuerpo 2 por interactuar con el cuerpo 1; es también -F la fuerza que actúa sobre el cuerpo 1 por interactuar con el cuerpo 2.
7. Fp1·límf→∞ -f, porque Δp1 es un valor constante (obsérvese en 5). Sin embargo, límf→∞ -f no existe, por lo cual se observa que la expresión matemática adecuada es F=-Δp1·f, con f la frecuencia máxima para llevar a cabo la interacción entre los cuerpos 1 y 2. Si, además, esto es válido, -F=-Δp2·f para el cuerpo 1 también lo es, o bien se deduce Fp2·f. También se deduce Fp2/Δt. Esta expresión es válida para cualesquiera cuerpos.
8. Δp2=-Δp1, se deduce. Por supuesto, también se deduce Δp2=(ξ-1)·p2,i según 5.
9. ΔE2=F·Δr2, es la energía que dada la interacción entre los cuerpos 1 y 2, permite mover al cuerpo 2 desde la posición r donde comienza la interacción hasta la posición r2r2 donde termina la interacción. Entre vectores, · representa el producto vectorial.
10. ΔE2·Δt=Δp2·Δr2, se deduce. Siendo Δt el periodo de tiempo mínimo para llevar a cabo la interacción.
11. Si los cuerpos no intercambian energía al interactuar, E2,i=K2+U2=E2,f, que es un valor constante; tanto la energía potencial U2 como la energía cinética K2 también son constantes. Por lo tanto, p2,i=-p2,f siendo la magnitud de ambos momentos igual (porque la energía cinética es constante durante la interacción), aunque la la dirección sea distinta (y por ello la presencia del signo - es necesaria).
12. ξ=-1, según lo expuesto en 4.
13. Δp2=-2·p2,i se deduce según lo expuesto en 8.
14. Asumiendo la hipótesis de de Broglie (válida para todos los cuerpos), p2,i=h/λ2,i·û, con h la constante de Planck y λ2,i la longitud de onda del cuerpo 2; û es el vector unitario.
15. Δp2=-2·h/λ2,i·û, se deduce.
16. El cuerpo 2 interactúa con el cuerpo 1 cuando alguno de sus frentes de onda se presenta donde el cuerpo 1 se encuentra. Si, además, la energía no se intercambia entre cuerpos, quedan las frecuencias f2,i=f2,f porque la cuantización de Planck para la energía indica E2,i=h·f2,i y E2,f=h·f2,f, y ambos valores de energía son iguales. Tampoco la energía cinética cambió, por lo cual la velocidad del cuerpo 2 sigue siendo la misma; esto implica que f2,i·λ2,i=f2,i·λ2,i porque así se calcula la velocidad y, por lo tanto, λ2,i2,f se deduce.
17. Δr2=-j·λ2,i·û, asumiendo la existencia de un valor j (como máximo igual a 1, dado que el frente de onda anterior o posterior a la interacción ya no está presente donde el cuerpo 1 se halla, siendo ello necesario para llevarse a cabo la interacción). El signo - corresponde al cambio de dirección del cuerpo 2 tras la interacción.
18. Δp2·Δr=(-2·h/λ2,i·û)·(-j·λ2,i·û)=2·j·h, se deduce.
19. ΔE2·Δt=Δp2·Δr2=2·j·h, según lo expuesto en 10. Considerando j=1/(8·π), se obtiene la relación de incertidumbre de Heisenberg. Por supuesto, también es válida la expresión ΔE1·Δt=Δp1·Δr1=2·j·h. Si la energía se mantiene constante durante la interaccción, el valor 2·j·h se debe seguir obteniendo porque no se han modificado las leyes de conservación del momento lineal ni de conservación de la energía (de las cuales se deduce), pero sí se modifican los valores, si es posible, con Δ. Si la energía de interacción ΔE2 disminuye en comparación a otra interacción, el tiempo de interacción Δt aumenta. Si se pretende que la energía de interacción ΔE2 asuma ΔE2=0, el tiempo de interacción Δt sería tan grande en valor que jamás terminaría de ocurrir la interacción. Nótese que si ΔE2=0, no hay en realidad interacción (para llevarla a cabo se requiere de cierta energía): eso significa que los cuerpos tienden a permanecer sin interactuar durante un tiempo indefinido. Nótese asimismo aunque el resultado sea válido, el mismo no deduce el valor de j. Es coherente con la relación de Heisenberg, pero no la deduce directamente en su valor j.

***

Entonces las premisas empleadas también son válidas por obtener resultados válidos. A partir de ellas se elabora otra demostración:

1. -F=m1·a1, cálculo clásico (por la segunda ley de Newton) para el cuerpo 1 que se supondrá de masa significativa.
2. p2/Δt=m1·a1, según 7 de la demostración anterior.
3. 2·h/(λ2,i·Δt)·û=m1·a1, según 15 de la demostración anterior.
4. a1=(v1,f-v1,i)/Δt, por definición de la aceleración.
5. 2·h/(λ2,i·Δt)·û=m1·(v1,f-v1,i)/Δt, se deduce.
6. v1,f=v1,i+2·h/(m1·λ2,i)·û, se deduce y es la expresión para calcular la velocidad final del cuerpo 1. Sin embargo, vi es mucho mayor en magnitud que 2·h/(m1·λ2,i)·û. La constante de Planck tiene un valor de h=6.63x10-34 J·s que en comparación con la velocidad de un cuerpo de masa significativa es minúscula (y aunando la masa m1, el término de velocidad en cuestión es aún menos significativo que v1,i; incluso teniendo valores bajos de λ2,i no es suficiente para hacer que el término sea influyente en la ecuación).
7. v1,fv1,i, se deduce. Asimismo v1,f-v1,i0 se deduce, y según lo expuesto en 4, a10.
8. -F0, según lo expuesto en 1. Por lo tanto, cuando la masa del cuerpo 1 es significativa, la observación del cuerpo 1 por medio de otro cuerpo 2 de masa no significativa no interfiere en la velocidad del primero y se considera que los cuerpos de masa significativa que son observados por cuerpos de masa insignificante no se hallan interactuando. Análogamente a lo expuesto en 6, v2,f=v2,i+2·h/(m2·λ1,i)·û quedaría para el cuerpo 2, y si éste se asume de masa insignificante, entonces el término 2·h/(m2·λ1,i)·û adquiere relevancia en la expresión, pero al interactuar con un cuerpo de masa significativa como 1 no lo altera apreciablemente en su velocidad.

La primera ley de Newton expresa un cuerpo sin interactuar no se encuentra sometido a fuerza alguna y necesariamente su velocidad es constante. Para verificarla se efectúa la observación de cuerpos de masa significativa con cuerpos de masa insignificante y se obtiene que, efectivamente, tanto -F0 (no hay interacción) como v1,fv1,i (la velocidad es constante desde el comienzo hasta el fin). Sin embargo, es difícil intentar probarla observando cuerpos de masa insignificante con cuerpos de masa insignificante. Sería equivalente a intentar probarla con cuerpos de masa significativa observados por cuerpos de masa significativa. Lo único que se obtiene en ambos casos es que -F0.

Retomando la relación de incertidumbre en 19 de la primera demostración, los cuerpos tienden a permanecer sin interactuar durante un tiempo indefinido. Si se desea observar un cuerpo sin interactuar, primeramente se debe hacer interactuar dicho cuerpo con otro que ayude a observarlo. Esto implica que ese tiempo indefinido donde el cuerpo no interactúa se concluya y, por consiguiente, no puede ser observado.

Se efectuará una última demostración

1. Fp2/Δt, según 7 en la primera demostración.
2. F=-2·h/(λ2,i·Δt)·û, según 15 en la primera demostración.
3. -F=-2·h/(λ1,i·Δt)·û, porque es la fuerza sobre el cuerpo 1 debido al cuerpo 2.

Si ambos cuerpos son de masa insignificante, las fuerzas de 2 y 3 son de valor apreciable. Cuando en cualquiera de los cuerpos se intenta que la longitud de onda λ sea λ→∞, la fuerza F es F0 y no habría interacción. Esto implica, no obstante, que el frente de onda de alguno de los cuerpos no alcance al otro, por lo cual no es posible que logre determinarse el valor de F aunque teóricamente sea deducido (porque se requiere que interactúen ambos cuerpos, que se encuentre el frente de onda de uno con el otro, para determinar si F efectivamente cumple F0). Esto es obvio e implica que la primera ley de Newton (un cuerpo sin interactuar no se encuentra sometido a fuerza alguna y necesariamente su velocidad es constante) no pueda probarse ni cierta ni falsa aunque las expresiones matemáticas predigan que es cierta o que es falsa. Para probar si es cierta o falsa se requiere de una medición semejante a la mostrada en la segunda demostración (entre un cuerpo de masa significativa con otro de masa insignificante), donde a pesar de la interacción por la observación se pueda asumir razonablemente que no hay interacción cuando la velocidad del cuerpo es constante. No obstante, no es posible saber nada de los cuerpos de masa insignificante que no interactúan: cuando su velocidad es constante no pueden ser observados (por la interacción con otro cuerpo de masa insignificante).

En resumen, se concluye que no habiendo interacción (F0) ocurre

1. λ→∞, que para cualquier cuerpo de masa insignificante su longitud de onda abarque todo el espacio.
2. Δt→∞, que para cualquier cuerpo de masa insignificante la situación sin interacción tienda a permanecer,

según las ecuaciones teóricas. Y según las mismas, jamás se logrará determinar a través de mediciones obtenidas por la interacción entre partículas (las mediciones así se obtienen) si estas conclusiones son verdaderas o falsas, porque esto implicaría que F0 en todos los casos, justamente lo que no se desea medir.

Nótese que la primera ley de Newton no puede probarse ni verdadera ni falsa (demostrarla falsa implicaría hallar otra ley referente a los cuerpos que no interactúan; al no poder determinar la falsedad, ninguna otra ley al respecto puede obtenerse verdadera). Cualquier demostración coherente debe deducir que no pueden determinarse conclusiones verdaderas o falsas acerca de los cuerpos de masa insignificante que no interactúan. O bien, simplemente no deben deducir nada al respecto. Por ejemplo, considerar que la solución a la ecuación de Schrödinger para las partículas libres (sin interactuar) es verdadera, resulta ser falso (porque no habiendo interacción no puede determinarse que sea verdadera). La Mecánica Cuántica basada en la ecuación de Schrödinger es coherente sólo cuando esta última se ve restringida para asumir verdadera o falsa la deducción de la función de onda de las partículas libres.

5 de Abril de 2014
 
 

lunes, 31 de marzo de 2014

SOBRE LA INDECIDIBILIDAD CUÁNTICA QUE PREDICE LA ENERGÍA DE ABERRACIÓN Y SU POSIBLE RELACIÓN CON LA ENERGÍA OBSCURA


De Alfredo Salvador C. García
Ciudad de México


Emmy Noether abrió los alcances de la Física
al observar que existen leyes de conservación
necesarias en cuanto haya leyes universales.


El esquema de indecidibilidad en los sistemas formales de la Física, particularmente la Mecánica Cuántica, refleja que necesariamente existe más de una explicación para distintos fenómenos observados posteriormente a una no-interacción tales que individualmente las explicaciones son coherentes a primera vista, pero que invalidarían en forma necesariamente contradictoria al resto de las posibles. Admitir que la no-interacción entre las partículas implica el aislamiento total de éstas explica que en el entrelazamiento cuántico el espín de un par de electrones se mantenga constante y así no se obtengan interacciones superlumínicas sino relaciones de espín previamente determinadas. No obstante, esto no permite justificar que las partículas se sumen, como ondas que son, en una sola onda total. Asimismo no permite explicar si realmente al no interactuar las partículas pueden o no admitir “desde su perspectiva” la existencia de otras partículas en el Universo. Por ello se ha concluido, como se obtiene de argumentos de lógica de primer orden, que existe indecidibilidad en cuanto se intente explicar qué ocurre cuando las partículas no interactúan entre sí.

Con base en lo anterior se considera que podrían existir otras interpretaciones que individualmente sean coherentes con la Mecánica Cuántica, pero que no permitan la validación de las otras explicaciones para fenómenos que se presentan posteriormente a una no-interacción. Es en esencia una expectativa esencial de la interpretación lógica sobre la indecidibilidad de cada explicación en las circunstancias de no-interacción el hallar otras interpretaciones y que éstas permitan explicar fenómenos que en esencia no se pueden explicar con el resto de las interpretaciones propuestas. En ese sentido se intentará proponer una nueva interpretación que de antemano se sabe es indecidible, pero que bien permita explicar fenómenos que las interpretaciones mencionadas al comienzo (individualidad de las partículas en la no-interacción, suma de las partículas en una sola onda, individualidad de las partículas considerando la inexistencia de otras en el Universo) no puedan notar. Esto reforzaría que la conclusión sobre la incompletitud lógica de la Física fuese, de hecho, la única interpretación válida desde nuestra condición de meros expectadores de la naturaleza de las partículas.

Se analiza, primeramente, que la expresión base para todas las interpretaciones hasta el momento obtenidas es la ecuación de Schrödinger:

-J2·h2/(2·π2·m)·∇2Ψ+U·Ψ=E·Ψ

donde h es la constante de Planck, J es un factor sugerido para cumplir la interpretación sobre la individualidad de las partículas sin admitir respecto a éstas la existencia de otras en el Universo (J={0 cuando hay interacción; ½ cuando no hay interacción), Ψ es la función de onda que representa la naturaleza dual de las partículas (Ψ expresa su ondularidad, ΔΨ expresa su corpuscularidad), U es la energía potencial asociada a la partícula bajo estudio y E es la energía que en total se asocia a la misma. Se sabe que 2 se define como 2xxyyzz.

Cuando la interpretación considera que las partículas individuales sí admiten desde su perspectiva la existencia de otras en el Universo, J sólo admite el valor ½ y nunca el valor 0. Cuando la interpretación considera que las partículas forman una suma ondulatoria en una sola partícula total, se descarta el análisis energético (el cálculo o suposición tanto de U como de E) de cada una de las partículas y se dice que ello no cobra sentido físico, no así el análisis energético de la onda total.

Cada interpretación surge de algunas consideraciones matemáticas que permiten obtener el mismo resultado cuando no hay interacción, específicamente tanto Ψ=0 como ΔΨ=0. Asimismo, por definición se sabe que en la no interacción U=0 porque es la energía potencial una asociada exclusivamente a los fenómenos de interacción. También se toma en consideración si la energía cinética K de la partícula bajo estudio, la debida a su movimiento, es relevante o no para el cálculo de la energía total que sigue el principio de conservación de la energía expresado como E=K+U.

Así, se clasifican las interpretaciones en sus características como sigue:

1. Las partículas sin interactuar admiten individualmente la existencia de otras partículas en el Universo.

Consideración matemática: Que se dé la operación 2Ψ=0 con base en E=0 (sin interacción, U=0 y K=0 porque la partícula se asume en el reposo –estudiada, mas no interactuando con ella, desde un marco de referencia a su misma velocidad–). También la condición Ψ·Ψ*=0 basada en la interpretación estadística de M. Born. Incluso en movimiento, con K≠0, dado que Ψ·Ψ* sólo puede determinarse cuando se detecta a las partículas y en la no-interacción ninguna partícula se detecta, queda Ψ=0.

2. Las partículas sin interactuar no admiten individualmente la existencia de otras partículas en el Universo.

Consideración matemática: Que el factor J es J=0 cuando no hay interacción. Por lo tanto, cualquier valor para la función de onda Ψ es válido, sin embargo Ψ·Ψ*=0 debe de cumplirse, por lo cual Ψ=0. Esto es válido tanto en el reposo como en el movimiento de la partícula bajo estudio (incluso resulta irrelevante en el reposo que la energía K sea tomada en cuenta; carece de significado físico).

3. Varias partículas que no interactúan pierden sentido físico individualmente y surge una partícula total a partir de las primeras.

Consideración matemática: si de la suma de las partículas, que además son descritas por ondas tipo Ψ, se obtiene una total, también se obtiene una onda Ψtotal. Esto permite tomar a dicha partícula total con la interpretación en 1, pero a costa de obtener interacciones superlumínicas (se obtiene una interacción a cualquier distancia y a cualquier velocidad cuando cesa la no-interacción entre las partículas sumadas).

De todos los casos se obtiene que

-J2·h2/(2·π2·m)·∇2Ψ=0 (interpretación en 2), o bien,
-h2/(8·π2·m)·∇2Ψ=0 (interpretación en 1).

Ahora, para sugerir una cuarta interpretación de antemano sabida indecidible, se propone que el valor 0 en el término de la derecha se obtenga no porque la función de onda lo implique de esta forma, sino porque exista un sumando que haga obtener dicho valor. Esto es,

-J2·h2/(2·π2·m)·∇2Ψ+A·Ψ=E·Ψ, o bien,
-h2/(8·π2·m)·∇2Ψ+A·Ψ=E·Ψ

En realidad se han obtenido dos interpretaciones. Por supuesto, el valor A corresponde a un término de energía asociada a la partícula pero diferente a la energía cinética K y a la energía potencial U. Por esto mismo, se presupone que la energía total asociada a la partícula, siguiendo el principio de conservación de la energía, se expresa en forma diferente a la incialmente expuesta, es decir,

K+U+A=E

En el caso de la interpretación con el factor J, A=E necesariamente cuando no hay interacción entre partículas. Esto porque J=0 en tales condiciones, según se definió dicho factor, lo cual lleva necesariamente a observar que A·Ψ=E·Ψ y finalmente la expresión ya referida. En el caso de la interpretación carente del factor J, dado que la función de onda Ψ es de valor constante en condiciones de no-interacción, 2Ψ=0 y necesariamente A·Ψ=E·Ψ, obteniéndose nuevamente A=E. Entonces, esta energía es una constante que representa la energía total asociada a la partícula en condiciones de no-interacción.

Para que el valor A sea coherente en condiciones de interacción, se observa que necesariamente A=0. Porque así se obtienen las expresiones K+U+A=E de conservación de la energía, y

-J2·h2/(2·π2·m)·∇2Ψ+U·Ψ+A·Ψ=E·Ψ, con el factor J, y
h2/(8·π2·m)·∇2Ψ+U·Ψ+A·Ψ=E·Ψ sin el factor.

Nótese que se sigue un modelo análogo al original, es decir, si U+A tomasen el sitio de U simplemente, U·Ψ tomaría el lugar de (U+A)·Ψ en las ecuaciones mostradas. Por lo tanto, la existencia del valor A no afecta en absoluto a la coherencia matemática de dichas ecuaciones que suponen seguir tanto el principio de conservación de la energía como la naturaleza ondulatoria de las partículas (representada por la función de onda Ψ). Entonces, para obtener las ecuaciones donde en circunstancias de interacción se prescinde del valor A, A=0 como se mencionó que debía ser necesariamente. Por lo tanto, se define al valor A como

A={E si hay no interacción; 0 si hay interacción

Si esta energía A (simbolizada así por la palabra aberración, es decir, es una energía de aberración) sólo es válida en circunstancias de no-interacción, debe ser la energía necesaria para sostener tales circunstancias. De otro modo, si la energía potencial U es aquella necesaria para pasar de la no-interacción a la interacción, la energía de aberración A es aquella necesaria para pasar de la interacción a la no-interacción.

Como se anticipó desde un principio, esta interpretación del valor A (tanto al considerar el factor J como en ausencia de éste) es tan indecidible como el resto de sus semejantes. Es por ello que se espera sea contradictoria respecto a éstas (de hecho lo es en cuanto no justifica la suma de las ondas Ψ en su versión J ni, por consiguiente, las aparentes interacciones superlumínicas que se obtienen) y, lo que es más, que permita explicar un fenómeno posterior a una no-interacción que sus semejantes no puedan explicar. Este fenómeno es conocido como energía obscura.

Si la energía de aberración A contribuye en la curvatura del espacio-tiempo sólo mientras las partículas no se hallen interactuando, esto justificaría, primeramente, que la energía de aberración no fuese detectada de ninguna forma (puesto que su existencia se basa en la no-interacción y para detectarla se tendría que interactuar con la partícula asociada a dicha energía). Luego, esta energía no contradice el hecho de generar la curvatura del espacio-tiempo de una forma tal que sin existir relación cuántica entre las partículas del Universo sí exista una relación gravitacional entre éstas. De alguna forma, las interacciones cuánticas, las que realmente pueden llamarse interacciones, se deben al interacambio de partículas de campo. A saberse, no existe una partícula de campo para dar origen a la curvatura del espacio-tiempo, no obstante se genera la fuerza gravitacional que realmente es sólo una fuerza ficticia generada por la curvatura antes mencionada.

Si, según arrojan las estimaciones realizadas a la fecha, gran parte del Universo se compone de energía obscura, eso significa que gran parte de las partículas del Universo no se encuentren interactuando, esto sin considerar a la interacción gravitacional. Y si se observa que gran parte del Universo se encuentra separado por grandes regiones de espacio vacío, resulta que la energía de aberración podría explicar directamente lo que es en realidad la energía obscura, es decir, puede que ambas energías sean la misma. No obstante, se requiere considerar experimentalmente 1) si en verdad las estimaciones de la cantidad de energía obscura corresponden a las estimaciones aquí sugeridas sobre la no-interacción entre partículas, lo que es, si 68.3% (aproximadamente) de la energía del Universo es energía obscura, también 68.3% de las partículas del Universo no se encuentran interactuando. Asimismo se debe tomar en cuenta 2) que esta explicación, aun siendo satisfactoria, no es verdadera de manera intrínseca, sino indecidible. De ser experimentalmente verdadera la explicación propuesta para la energía obscura según la interpretación de la energía de aberración A, solamente sería muestra contundente de la incompletitud de la Mecánica Cuántica como cúmulo de proposiciones lógicas. En caso de obtenerse válida la interpretación sobre la energía A, el resto de las interpretaciones expuestas no podrían explicar de forma alguna el hecho de la energía obscura y, lo que es más, lo verían como un efecto contradictorio dentro de la misma Mecánica Cuántica.

Por consiguiente, si esta explicación llegase a ser válida, se deberá ser muy cauteloso en cuanto a su interpretación física que, por su naturaleza lógica sólo corresponde a una posibilidad ilusoriamente válida al igual que la suma de ondas en circunstancias de no-interacción o la individualidad de las partículas en las mismas condiciones.

31 de Marzo de 2014