Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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sábado, 12 de abril de 2014

FUNDAMENTOS DE LA MECÁNICA LÓGICA Y PRIMERAS DEDUCCIONES

De Alfredo Salvador C. García
Ciudad de México

Albert Einstein y Kurt Gödel.
El genio de la Física con el genio de la Lógica.


[Esta entrada participa en la LI Edición del Carnaval de la Física alojado por Marta Macho Stadler en el blog ZTFNews.org]


Los objetos físicos poseen propiedades que les permiten interactuar entre sí. Esto se puede simbolizar como sigue

1. Pi(x), dice «el valor de la propiedad Pi para el objeto x». Por ejemplo, sea P1 la carga eléctrica y e el electrón. Entonces P1(e)=-1.602·10-19 C.
2a. Fi(x, y)=f[Pi(x), Pi(y)], dice «la interacción F entre los cuerpos x, y, tiene un valor descrito por la función f dependiente de los valores Pi(x) y Pi(y)». Así se expresa que la interacción con subíndice i sólo puede ser causada por la propiedad también con subíndice i. Además, se especifica que existe una relación cuantitativa f entre el valor de la interacción y los valores de dicha propiedad para cada objeto.
2b. ¬(x=y), o también x≠y. Esto es en principio porque sólo esta expresión cobra significado intuitivo ante las observaciones de la realidad. Por ejemplo, nunca se ha observado que una pelota comience a rebotar contra sí misma, o que un electrón colisione contra sí mismo.

Aparte, cada expresión lógica cumple lo siguiente

3a. Q≡Fi(x,y)=f[Pi(x), Pi(y)], es decir, primeramente Q se hace equivalente () a la expresión lógica Fi(x, y)=f[Pi(x), Pi(y)] para abreviarla.
3b. M(Q)↔U(Q), dice «Q se lleva a cabo», ó M(Q), siempre y cuando () «Q sea verdadera», ó U(Q); es decir, siempre y cuando Pi(x) y Pi(y) sean tomadas en la realidad y se obtenga Fi(x, y) con un valor equivalente al de la función f[Pi(x), Pi(y)], será posible declararse a Q como verdadera. En el sentido inverso ocurre: sabiendo que Q es verdadera, necesariamente Q debe de llevarse a cabo, de lo contrario Q no sería verdadera. También se puede emplear Q como cualquier otra proposición, pues esto significa que de llevarse a cabo una situación Q en la realidad, entonces declarar Q es verdadero, situación semejante a decir «es cierto si la evidencia lo confirma».

Por ejemplo, se toman dos electrones cuya carga eléctrica se expresa

P1(e1)=-1.602·10-19 C y P1(e2)=-1.602·10-19 C.

Los electrones se encuentran a una distancia de separación de r=1·10-9 m. Si la realidad muestra que existe una interacción entre los electrones cuyo valor es F(e1, e2)=2.307·10-10 N, entonces efectuando el cálculo

f[P1(e1), P1(e1)]=K·P1(e1)·P1(e2)/r2

con K=8.988·109 N·m2/C2 se obtiene f[P1(e1), P1(e1)]=2.307·10-10 N y, finalmente,

F(e1, e2)=f[P1(e1), P1(e1)]

Por lo tanto, M(Q) y U(Q) se deduce sólo para ese caso.

Se define a continuación lo siguiente:

4a. RjQ, se tiene una proposición Rj que deduce el valor Fi(x, y) de la interacción entre los objetos x, y; entonces
4b. M(Rj)M(Q) en principio. Por supuesto, Rj no puede ser la negación de M(Q)↔U(Q). Obsérvese que si Rj≡Q, entonces se tiene la tautología M(Q)M(Q).
4c. De lo anterior se deduce U(Rj)U(Q).

Por ejemplo, Rj expresa la colisión entre dos partículas que posteriormente dan lugar a otras partículas conocidas. Dicha colisión implica una interacción entre las dos primeras partículas, a y b, cuyo valor es Fi(a, b)=f[Pi(a), Pi(b)]. Entonces se lleva a cabo la colisión entre las partículas a y b, y se observa la generación de las otras partículas conocidas, tal y como Rj señala. Entonces, en principio se asume que una interacción entre las dos partículas se llevó a cabo con un valor Fi(a, b). En el sentido inverso también se considera, es decir, si la interacción se lleva a cabo, entonces la colisión es posible.

Con las reglas de inferencia lógicas mostradas para el análisis de interacciones entre objetos físicos se podrá observar en qué casos no es posible deducir la proposición U(Q) o la proposición ¬U(Q) (la negación de la primera).

***

Sea un objeto físico que no interactúa con otros objetos físicos. Entonces

1. De Fi(x, y)=f[Pi(x), Pi(y)] sólo se tiene Fi(x, x)=f[Pi(x), Pi(x)]. Sin embargo, no se cumple lo señalado en 2b, donde ¬(x=y), por lo cual Q, que es equivalente a Fi(x, y)=f[Pi(x), Pi(y)], no es una proposición lógica válida.
2. Así M(Q) tampoco es una expresión lógica válida y
3. U(Q) no se deduce. Tampoco podría deducirse ¬U(Q) (que Q sea falsa, que no sea verdadera) porque para ello sería necesario que ¬M(Q) se cumpliera, pero no es posible obtener tal consideración porque Q no es una proposición válida y no puede emplearse para efectuar deducción alguna.

En lógica se define a las proposiciones T como indecidibles a aquellas que no permiten deducir ni U(T) ni ¬U(T). En otras palabras

Las proposiciones indecidibles son aquellas que no pueden expresarse ni verdaderas ni falsas.

Así Q es indecidible cuando un objeto físico no interactúa con otros objetos físicos. Por este mismo motivo carece de sentido intentar averiguar el valor de la interacción cuando un objeto físico no se encuentra interactuando: si la interacción valiera 0, eso significaría que se ha logrado hacer interactuar a dicho objeto con otro para determinar que en realidad no estaban interactuando, situación que es contradictoria. Si la interacción tuviese un valor distinto de 0 eso significaría que se ha logrado hacer interactuar a dicho objeto y se ha determinado que ambos objetos estaban interactuando, lo cual también es contradictorio con el hecho de que el objeto físico no interactuara con ningún otro objeto físico.

Retomando la conclusión anterior

Es indecidible que el valor de la interacción sea uno dado para un objeto físico que no interactúa.

Asimismo, según la Lógica, se sigue que

Cualquier conclusión que tome como parte de su deducción a la proposición U(Q) o a la proposición ¬U(Q) para un objeto que no interactúa, es falsa.

porque el hecho mismo de asumir U(Q), o también ¬U(Q), es falso. Se ha concluido que Q es indecidible y, por lo tanto, ni U(Q) ni ¬U(Q) son verdaderas (ni falsas cabe mencionar) y de ahí que se observe lo antes señalado sobre la falsedad de cualquier conclusión incluyendo U(Q) o ¬U(Q) como premisas siendo que el objeto físico en cuestión no interactúa. En otras palabras, Q para ese caso no podría tomar parte de la deducción de una proposición X que se pretenda sea verdadera.

Quizá pueda cuestionarse que esta última conclusión sea incoherente porque aparentemente se deduce de Q. Sin embargo, al observarse la deducción sobre la indecidibilidad de U(Q) y ¬U(Q), en 1 se expresa que Q es una proposición inválida y, por consiguiente, Q no es parte de la deducción. En 2 se expresa que M(Q) no es una expresión válida y, por consiguiente M(Q) no se deduce en tal caso. Finalmente, en 3 se expresa que U(Q) ni tampoco ¬U(Q) se deducen. Por lo tanto, la deducción de la última conclusión expresada no tiene sustento en una deducción sino, muy al contrario, en una serie de observaciones sobre proposiciones que no se deducen (aunque sí se señala cuáles son aquéllas). Entonces la conclusión obtenida jamás se dedujo de Q.

***

Si Q no es deducible ni tiene validez cuando un cuerpo se encuentra sin interactuar, entonces las teorías físicas que intenten explicar qué ocurre con los objetos físicos cuando no interactúan son incoherentes si logran tal cometido. Se observa entonces

Toda teoría física expresando aquello que ocurre
con los objetos físicos que no interactúan es incoherente.

Por el contrario, una teoría física coherente debe respetar la observación natural de no reconocer ni verdadero ni falso nada respecto a las interacciones de los objetos que no interactúan.

A continuación, se presentan las conclusiones que se obtienen para la Física en cuanto a ciertos fenómenos, siguiendo las conclusiones deducidas anteriormente:

1. Primer fenómeno: la dualidad onda-corpúsculo de las partículas.

Se efectúa un experimento donde las partículas corpusculares interactúan con otras partículas. Entonces Q se lleva a cabo, M(Q), y U(Q) se deduce. Luego, las partículas corpusculares cesan de interactuar con las otras partículas y al volver a interactuar con las mismas se presentan como partículas ondulatorias.

Durante el cese de la interacción, se tiene que Q es indecidible y, por lo tanto, no puede conocerse el valor de la interacción que no se lleva a cabo; no se deduce M(Q). Entonces no se puede validar que la proposición Rj que expresa «las partículas son corpusculares» deduzca Q; Rj también queda indecidible y cualquier proposición que logre deducirse con ella también es indecidible, particularmente la aceptación de una función de onda Ψ (según la ecuación de Schrödinger, que también quedaría indecidible) que describa a la partícula en tales circunstancias. Asimismo ¬Rj, «las partículas son ondulatorias», es indecidible; no puede deducirse ni verdadera ni falsa, ni tampoco cualesquiera conclusiones deducidas de ello.

Finalmente, cuando la partícula vuelve a interactuar con las demás partículas, tanto Rj como ¬Rj son válidas pues ninguna había quedado previamente ni como verdadera ni como falsa. Si se observa que ¬Rj se cumple, no existiría ningún inconveniente para que así sea admitida, es decir, no existiría ninguna contradicción en admitir que la partícula sea ondulatoria posteriormente al cese de la interacción. Podría considerarse en términos coloquiales que el cese de la interacción es un «borrón y cuenta nueva» sobre la veracidad o falsedad de las proposiciones de la Física, como se ha observado con Rj inicialmente verdadera que pasa a ser falsa después del cese sin que ello represente una contradicción, siempre y cuando se considere su indecidibilidad durante el cese. Nótese que la ecuación de Schrödinger debe deducir que la función de onda Ψ es discontinua: sólo es válida para los instantes previos al cese y posteriores al cese, pero nunca durante el cese; la función de onda no tiene valor alguno (no cobra sentido hallarlo) durante el cese de la interacción.

Si no se lleva a cabo interacción alguna, la función de onda permitiría deducir como argumento de cómputo matemático que la partícula sea hallada con algún valor de probabilidad Ψ·Ψ* (según M. Born; Ψ* es el valor conjugado del valor complejo Ψ) en algún instante posterior al cese de la interacción, pero jamás podría deducirse un valor de probabilidad Ψ·Ψ* durante el cese, ni tampoco que la función de onda Ψ en realidad describa correctamente a la partícula sin interactuar.

2. Segundo fenómeno: la observación de un objeto ordinario.

Los objetos ordinarios son aquellos de tamaño normal, observables en la vida cotidiana y cuyas interacciones pueden ser descritas sin problemas lógicos aparentes por medio de la Mecánica Clásica (de I. Newton). Al ser observado un objeto ordinario se tienen dos objetos, al menos, que son el objeto ordinario y un fotón que permite observarlo. Durante la observación existe una interacción entre dichos objetos.

Entonces Q se lleva a cabo, es decir, M(Q) se cumple, y resulta U(Q). Sin embargo, la interacción cuantificada entre los objetos tiene un valor aproximadamente igual a 0, es decir, Fi(x, y)≃0. Si la interacción tiene un valor de 0 podría admitirse, no sin motivos, que la interacción no se lleva a cabo; de alguna forma la falta de interacción podría representarse como 0, la “nada” de la interacción. De ahí que la primera ley de Newton haya sido asumida como Fi(x, x)=0, porque el objeto y=x cuando no hay interacción entre el objeto observado y otros objetos, además de retomarse que Fi(x, y)≃0 (en la época de la I. Newton se desconocía que y, el fotón, existiese; es decir, que la luz como partículas fuese parte de la realidad) siendo y no la luz con que se observa al objeto x, sino y=x porque aparentemente no habría otros objetos interactuando con x durante la observación.

Por supuesto, la primera ley de Newton sólo es válida cuando durante la observación de un objeto se obtenga Fi(x, y)≃0. Esto sólo es posible con objetos ordinarios que son observados con fotones. De otra manera, y=x llevaría a contradicción por considerarse verdadera siendo que en 2b se mostró ¬(x=y) tendría mayor sentido intuitivo (mayor validez según la evidencia experimental). Cuando, por ejemplo, un electrón x es observado con un fotón y, Fi(x, y)≃0 no se cumple y, por consiguiente, tampoco la primera ley de Newton, porque ésta basa su veracidad en cuanto M[Fi(x, y)≃0] que deduce U[Fi(x, y)≃0]. Esto sólo puede notarse cuando se observan objetos ordinarios, pero no cuando se observan objetos distintos a los ordinarios, como los electrones, los protones, y en general las partículas descritas por la Mecánica Cuántica. La primera ley de Newton no es verdadera en sí: para ello tendría que ser válida en todos los casos.

3. Tercer fenómeno: el entrelazamiento cuántico de los fotones.

Se plantea la siguiente deducción:

i. x=átomo, y=fotón, y se deduce ¬(x=y).
ii. Durante el entrelazamiento cuántico se determina por medio de una proposición Q1 el valor de la propiedad Pi(x). No se determina, en contraste, el valor de la propiedad Pi(y) por carecerse de una proposición Q2 que dé pie a dicha determinación. En otras palabras, se interactúa con el átomo para conocer su comportamiento mediante la propiedad Pi(x), pero no se interactúa con el fotón, situación que no permite conocer su comportamiento mediante la propiedad Pi(y).
iii. Si la propiedad Pi(x) es «los estados cuánticos del átomo» y la propiedad Pi(y) expresa «los estados cuánticos del fotón», entonces el entrelazamiento cuántico es una interacción tal que de

Q≡Fi(x, y)=f[Pi(x), Pi(y)]

se permita su cuantificación a partir de las propiedades Pi(x) y Pi(y).
iv. Sin embargo, durante el entrelazamiento M(Q) no es una proposición válida porque Pi(y) no es válida: Q2 no se lleva a cabo y no puede determinarse el valor Pi(y).
v. Si M(Q) no es válida, tanto U(Q) como ¬U(Q) son indecidibles.
vi. Podría definirse que Pi(y)=g[Pi(x)], es decir, tal y como la Mecánica Cuántica deduce teóricamente, los estados cuánticos de un fotón pueden conocerse a partir de los estados cuánticos de un átomo, empleando la función g que permita expresar la ecuación Pi(y)=g[Pi(x)]. Por consiguiente

Fi(x, y)=f{Pi(x), g[Pi(x)]}=Fi(x, x)

porque el valor de la interacción, el entrelazamiento cuántico, sólo quedaría en términos de los estados cuánticos de x, el átomo. Ello no es posible porque deduce y=x, y de ahí que se deduzca coherentemente que Q es indecidible, tal y como se ha señalado en v.

En otras palabras, siendo Pi(x) los estados cuánticos del átomo, se deduce que éstos no pueden determinar intrínsecamente los estados cuánticos Pi(y) del fotón. Si esto ocurre, cualquier cambio del valor de los estados cuánticos del átomo conllevaría un cambio simultáneo e inmediato de los estados cuánticos del fotón, violándose así el hecho de que la velocidad de la luz es constante (porque la simultaneidad sería observada desde cualquier marco de referencia, situación que no se deduce considerando que la velocidad de la luz es constante) y, además, que no haya velocidades mayores a la velocidad de la luz (si la interacción, el entrelazamiento, fuese llevado a cabo inmediatamente, la velocidad de ésta sería “infinita” y, por supuesto, mayor que la velocidad de la luz) según la Teoría de la Relatividad señala.

Entonces se deduce que x=y necesariamente (léase vi), con tal de respetar lo planteado en 2b, además de conservarse la validez de los aspectos referidos por la Teoría de la Relatividad. La igualdad x=y expresa que el átomo x y el fotón y son el mismo objeto, o bien, que forman un mismo objeto. Esto es coherente, además, con el hecho de que ambos objetos sean ondulatorios (hipótesis de de Broglie) dado que éstos se sumarían en una sola onda y formarían así un objeto único y no dos objetos independientes. No obstante, ello también implicaría que el hecho de intentar averiguar el valor de la interacción fuese imposible, según lo expresado con 2b deduciendo que Q es indecidible cuando x=y. Averiguar el valor de la interacción que se lleva a cabo, el entrelazamiento cuántico, carece de sentido y no permitiría saber cuál es el valor de los estados cuánticos del fotón (porque Pi(y) no es una proposición válida).

Lo que ocurre con las proposiciones de la Física durante el entrelazamiento cuántico, así como se expresó para la dualidad onda-corpúsculo, es un «borrón y cuenta nueva» de su carácter lógico. De ahí que los estados cuánticos de los átomos interactuando con los fotones por entrelazamiento no describan un comportamiento lógico constante, sino un comportamiento absurdo. En ocasiones se obtiene el estado E1, en ocasiones el estado E2, en ocasiones E3 y en ocasiones E100 y todos ellos son válidos por el «borrón y cuenta nueva» durante el entrelazamiento. Si los fotones se encuentran interactuando con los átomos por entrelazamiento, éstos no reflejarán sino el carácter aparentemente absurdo de los fotones, aunque en realidad sólo están mostrando una consecuencia de la indecidibilidad de la proposición Pi(y).

***

Las proposiciones 1, 2a, 2b, 3a, 3b, 4a y 4b junto con las reglas de deducción que las involucran constituyen el sustento formal (simbólico) de la Mecánica Lógica. Son sus axiomas. Se estudia, como se ha notado durante el texto, la naturaleza lógica de las proposiciones en Física con tal de obtener teorías coherentes, que no deduzcan contradicciones.

12 de Abril de 2014