Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

·

La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

·

domingo, 20 de abril de 2014

SOBRE LAS CARACTERÍSTICAS LÓGICAS DEL ENTRELAZAMIENTO CUÁNTICO

De Alfredo Salvador C. García
Ciudad de México
 
Wolfgang Pauli y Paul Dirac, los padres de
la Mecánica Cuántica Relativista.


A partir de la Mecánica Lógica se ha deducido que deben existir al menos dos tipos de interacciones en el Universo [Sobre las causas de las interacciones y la imposibilidad de la unificación de fuerzas en una «Teoría de todo», 14 de Abril de 2014]. La deducción se basa en considerar válidos los principios formales de la Mecánica Lógica, la naturaleza indecidible de la precisión 1.0 en cualesquiera mediciones, y el principio de incertidumbre de Heisenberg que, a su vez, permite explicar el surgimiento de las partículas de campo, responsables de las interacciones: para una incertidumbre de tiempo Δt, dadas dos circunstancias, se calcula una incertidumbre de energía ΔE equivalente a la energía que conforma a alguna partícula de campo.

Podría llevarse al extremo la incertidumbre de tiempo Δt en una medición (que inherentemente es una interacción) hasta hacerla Δt=0. Así, no existen dos circunstancias, sino una, y la incertidumbre de energía queda ΔE→∞. Una partícula de campo con una energía “infinita” resulta intuitivamente imposible. Sin embargo, no se descarta que en verdad exista un valor de energía dada la circunstancia que se ha señalado con Δt=0 (tal y como se señala en Sobre la indecidibilidad cuántica que predice la energía de aberración y su posible relación con la energía obscura, 31 de Marzo de 2014).

Ello sería compatible, sin ser directamente deducible –por ahora, dado que no se cuenta actualmente, a saberse, con una demostración formal de ello– con la Teoría de la Relatividad: cuando la velocidad alcanzada por los objetos que interactúan es la velocidad de la luz al vacío, c, la contracción temporal haría que Δt=0 fuese. En tales condiciones la energía de dichos objetos es ΔE→∞, en conjunto, pudiendo pensarse que en realidad los objetos conservan su energía en reposo y tal cantidad enorme de energía provenga de la partícula de campo que origina la interacción. Podría pensarse esto mismo incluso cuando la velocidad de los objetos que interactúan no fuese la velocidad de la luz: ambos conservan su energía en reposo y es la energía de la partícula de campo que implica su interacción la que incrementa su valor de energía mientras la contracción temporal se lleva a cabo por el movimiento de los objetos. Partículas como el fotón no incrementarían su energía en reposo con un incremento de ΔE, sino su valor de frecuencia, esto respecto a otro observador de la interacción que se encontrase en reposo.

Retomando el caso cuando ΔE→∞, Δt=0 y los objetos estarían viajando a la velocidad de la luz, esto, en contraste, sería teóricamente indecidible: las observaciones a velocidades fotónicas (de la luz al vacío) conllevan la indecidibilidad de cualquier proposición que se elabore con base en ello [Sobre la indecidibilidad de los teoremas referentes a las observaciones fotónicas, 28 de Marzo de 2014]. Esta indecidibilidad ocurre porque, en principio, no se lleva a cabo interacción alguna entre un objeto a velocidades fotónicas y otro cuya velocidad también sea fotónica (porque si Δt=0, nada transcurre: no puede ocurrir nada, por supuesto, ni siquiera una interacción). Entonces, cuando Δt=0, no existe interacción entre las partículas involucradas. En otras palabras, cuando Δt=0, todas las proposiciones lógicas al respecto de dicha circunstancia son indecidibles por la falta de interacción –la interacción entre objetos es la única forma de obtener la veracidad o falsedad de alguna proposición lógica relativa a la interacción–. Es así, que Δt=0 misma resulta indecidible: esto es incluso coherente con la Matemática, porque en el cuerpo de los reales la división entre 0 no tiene cabida: dividir entre 0 carece de significado lógico (no existe modelo lógico para el símbolo 0 considerando la división a/0 en el cuerpo de los reales). También ΔE→∞ queda indecidible, y también el hecho de que no se lleva a cabo interacción alguna: esto último se dedujo a partir de Δt=0, misma que es indecidible si se toma en cuenta el principio de incertidumbre de Heisenberg.

Entonces, no es posible medir periodos de tiempo Δt=0, por supuesto, a partir de una interacción. Esto sería equivalente a que un reloj estuviese girando sus manecillas (midiendo la interacción) mientras el tiempo permanece estático (sin ocurrir la interacción). En el caso de presentarse un fenómeno cuyo periodo de tiempo necesario para ocurir sea Δt=0, entonces nada podría concluirse ni verdadero ni falso sobre la naturaleza del fenómeno. Particularmente se obtiene el siguiente

Teorema. Una interacción que se lleva a cabo en periodos de tiempo Δt=0 no es lógicamente teorizable (porque todas las proposiciones relativas a dicha interacción serían indecidibles).

Obsérvese que periodos de tiempo Δt=0 implicarían la no-interacción entre partículas, pero, a la vez, podría darse una interacción en periodos de tiempo Δt=0. Dado que eso no tiene sentido lógico coherente –es absurdo– se refuerza el hecho de que cualquier conclusión dado un periodo de tiempo Δt=0 para un fenómeno es indecidible: aunque se obtienen tanto la conclusión como su contraria –a Δt=0 no ocurre interacción alguna; a Δt=0 ocurre una interacción– ninguna puede ser cierta ni falsa si se parte de principios verdaderos. Por ello se deduce que ambas conclusiones son indecidibles.

La proposición Q≡Fi(x,y)=f[Pi(x), Pi(y)], donde Q abrevia Fi(x,y)=f[Pi(x), Pi(y)]; Fi(x,y) es el valor de la interacción entre los objetos x, y; f es la función que permite calcular el valor de la interacción a partir de los valores Pi(x) y Pi(y) de la propiedad Pi que permite la interacción; queda indecidible cuando Δt=0. Quedan, por consiguiente, indecidibles x=y ó ¬(x=y), indecidibles los valores de Pi(x) y Pi(y), indecidible la estructura simbólica de la función matemática f, e indecidible el tipo de interacción i. Todo ello se ignora simultáneamente, y de todo ello se ignora su veracidad, cuando una interacción se lleva a cabo en un periodo de tiempo Δt=0. Si todo ello no se ignorase simultáneamente, por ejemplo, si x=y fuese, entonces Pi(y)=g[Pi(x)] se observaría y el valor Pi(y) individualmente sería falso (para una interacción, cada objeto tiene su correspondiente valor de propiedad Pi(x) ó Pi(y)). También el cálculo con f sería falso (porque f requiere de dos valores de Pi independientes para efectuar su cálculo) y, el valor de la interacción Fi(x,y) también sería falso por la falta del objeto y distinto de x (un objeto no puede interactuar consigo mismo, como expresa x=y).

Si se contase con el cálculo del valor de la interacción con f, sería contradictorio x=y porque se tendría una sola variable independiente cuando se requiere de dos para efectuar el cálculo. También sería contradictorio ¬(x=y) porque inicialmente se sabe que no existe interacción alguna, requiriéndose x=y. También sería contradictorio tener dos valores independientes Pi(x) y Pi(y) porque en condiciones de interacción, Pi(y) tendría que ser independiente de Pi(x). Sin embargo, si ambas fuesen dependientes sería contradictorio porque el cálculo con f sólo se logra a partir de dos valores independientes. El valor Fi(x,y) sería contradictorio porque x=y se presenta en condiciones de falta de interacción, situación que no permitiría el cálculo con f. También la falta del valor Fi(x,y) es contradictoria, porque ello implicaría que se tienen dos objetos, pero las condiciones de falta de interacción propuestas como premisa principal requieren que x=y. Entonces no se puede conocer el tipo de interacción que se presenta. De conocerse, se deduciría de Fi(x,y)i del subíndice lo indicaría– pero se ha observado que en ningún caso Fi(x,y) es coherente, por lo cual la deducción de i tampoco lo es. En general, aseveraciones similares pueden observarse y finalmente se deduce que cada aspecto de la proposición Q se ignora, además de ignorarse si son verdaderos o falsos.

A la fecha se ha observado un fenómeno que ocurre en periodos de tiempo Δt=0: el entrelazamiento cuántico. Dos partículas poseen estados cuánticos de valor Pi(x) y Pi(y) dados. Se observa, además, que Pi(y)=g[Pi(x)] siendo g una función matemática dada, esto es, sus estados cuánticos son correspondientes, o al menos con ello se pretende explicar el fenómeno. Dado que ninguno de los símbolos de la proposición Q puede conocerse en su valor cuando Δt=0, se concluye

1. La función f no puede determinarse para este fenómeno. Ello implica, a su vez, que no se puede disponer de un método de cálculo a partir del fenómeno: el qubit no puede obtenerse porque el fenómeno carece, dada la falta inherente de la función f, de una descripción matemática que permita aprehenderlo. Por ejemplo, la función f para la electrónica (bit ordinario) define f={0 si el nivel de potencial eléctrico es mayor que 0 V y menor que 0.7 V; 1 si el nivel de potencial eléctrico es mayor que 2.5 V y menor que 5.0 V. Sin embargo, por lo deducido para el entrelazamiento cuántico, una función f no podría establecerse para describirlo. De lo contrario, se obtendrían conclusiones incoherentes con el fenómeno. Por lo tanto, los valores que arroje el fenómeno sobre los estados cuánticos del objeto y que interactúa por entrelazamiento deben ser completamente azarosos, sin describir un patrón matemático definido en ningún caso. Tampoco podría emplearse un algoritmo (ejecutado con un instrumento de cálculo auxiliar) para calcular un valor estimado de f: el valor de f persiguiría en todo caso un valor incalculable porque en sí mismo es indecidible dadas las circunstancias lógicas que presenta el fenómeno –el cálculo de f sería indecidible y en ocasiones el algoritmo arrojaría (como se observa en la realidad) un valor, y en ocasiones otro, aún empleando las mismas condiciones iniciales–. Esto sería análogo al algoritmo de George Boolos que permite deducir la incompletitud de un sistema de proposiciones lógicas: existe un valor que para cualquier algoritmo es imposible de ser calculado (Nueva demostración del teorema de incompletitud de Gödel, 1989). En este caso, el valor sería el que se desearía asignar a f.

2. No se tiene plena certeza de que la interacción entre el objeto x y el objeto y ocurra. Si se ignora el valor Pi(y) independiente porque los estados cuánticos entre los objetos x, y sean correspondientes, entonces no podría asegurarse si realmente existe una propiedad Pi: una interacción implica al menos dos valores independientes de Pi(x) y Pi(y). Quizá podría existir una partícula z “oculta” con la cual x interactúe por entrelazamiento, y simultáneamente con y también por entrelazamiento, pero ello se ignoraría realmente dada la indecidibilidad de los valores para cada aspecto en la sentencia Q.

3. No se puede conocer de qué tipo de interacción se trata. Si la interacción es entre un par de protones en el núcleo, su valor sería i=nuclear fuerte. Si la interacción es por entrelazamiento cuántico, la naturaleza de i es incierta: si ni siquiera puede plantearse una partícula de campo que intervenga en la interacción (como se mostró en 2, “infinitas” partículas z podrían interactuar entre sí y con los objetos x, y sin tenerse conocimiento de ello), es imposible determinarse si i puede tener un valor. No obstante, de no tenerlo, el fenómeno de entrelazamiento carecería de explicación física, misma que justificadamente se pretendería buscar por medio de algún tipo de interacción que le diera valor a i. Esto no influye en absoluto con el resultado sobre la necesidad de dos tipos de interacciones, al menos, que inicialmente se hizo notar en este texto: porque se deduce para tipos de interacciones que definitivamente sí ocurren (cuya veracidad sí es aprehensible).

Se podría objetar que existe una función de onda Ψ sin colapsar para la partícula y durante el fenómeno de entrelazamiento. Sin embargo, Ψ es una función tipo f' deducida, según Mecánica Lógica, a partir de la proposición Q que valida otra proposición tipo Rj incluyéndola. Esto es, la validez de f' depende directamente de la validez de f. Por ejemplo, Ψ puede deducirse para una barrera de potencial eléctrico, donde Q incluye f que es un derivado de la ley de Coulomb –una barrera de potencial podría ser calculada a partir de dicha ley–. De existir Ψ para el fenómeno de entrelazamiento, jamás podría determinarse qué ocurre con y: si existe la posibilidad de tener “infinitas” partículas z durante el entrelazamiento, la función de onda Ψ debe deducir la existencia de otra función de onda Ψz que describa a una partícula z, luego otra función análoga, luego otra función análoga, y así sucesivamente para lograr describir a cada partícula z. Como el proceso nunca alcanzaría a obtener la función de onda del objeto y, un objeto que sí fuese observado en sus variaciones de estados cuánticos simultáneamente a x (como en la observación de átomos entrelazados con un mismo fotón), resultaría deducible que el fenómeno no fuese matematizable, primero, y que los estados cuánticos del objeto y no existieran con valor alguno, lo cual no se observa en la realidad (en el entrelazamiento de dos electrones, ambos poseen un estado cuántico respectivamente; en el entrelazamiento de átomos con fotones, cada átomo posee un estado cuántico). Por lo tanto, sugerir una función de onda Ψ que no colapsa no es una solución viable para describir el fenómeno y, reiterando lo antes especificado, ninguna función lo es.

También podría objetarse que la función de onda Ψ deduzca que ésta fuere idéntica para todas las partículas porque todas poseerían los mismos estados cuánticos. Entonces la función de onda del objeto y también debería de manifestar los mismos valores de estados cuánticos que el objeto x, lo cual no es posible porque el principio de exclusión de Pauli sería violado. Nuevamente, no existe forma de obtener matemáticamente el valor del estado cuántico de un objeto entrelazado cuánticamente y que no sea observado, aún suponiendo que la función de onda que lo represente no colapse. Lo que es más, si la función de onda Ψ resulta indecidible teniendo un valor dado, es decir, que ningún valor que pudiera corresponderle fuese verdadero o falso, entonces específicamente para el entrelazamiento de átomos por medio de un fotón “oculto”, los átomos tendrían cada uno sus propios estados cuánticos, el fotón “oculto” permanecería sin tener un valor de estado cuántico (Ψ no sería calculable), y ello en definitiva no violaría el principio de exclusión de Pauli (el principio no dice «cada partícula tiene necesariamente un estado cuántico», sino «no existen dos partículas con dos estados cuánticos idénticos»). Cabe mencionarse aún siendo el entrelazamiento cuántico un fenómeno que se puede declarar simultáneo desde cualquier marco de referencia, esto no contradice a la Teoría de la Relatividad: el hecho de no poder calcular, sea con ecuaciones o con algoritmos, veraz o falazmente cualquier valor involucrado con dicho fenómeno, impide que pueda existir contradicción alguna. Esto es, si no hay en definitiva ni veracidad ni falsedad en lo expresado entorno a los valores implicados en el entrelazamiento, cualquier otra teoría podría declarar que ello fuese verdadero o falso. Consiguientemente, si desde cualquier marco de referencia el entrelazamiento es indecidible en todos sus valores, la Teoría de la Relatividad no podría deducirlos falsos (o contradictorios con ésta) porque ello sería negar su indecidibilidad. Tampoco podría deducirlo verdaderos, por el mismo motivo. Menos aún sería posible si la indecidibilidad de las descripciones para el entrelazamiento cuántico fue deducida a partir de la Mecánica Lógica que es en sí misma equivalente a la Teoría de la Relatividad [Sobre la Teoría de la Relatividad siendo formal e intuitivamente equivalente a la Mecánica Lógica, 14 de Abril de 2014].

Cabe preguntarse si un periodo de tiempo Δt=0 es suficiente para establecer que se lleve a cabo una interacción cuyas descripciones fuesen indecidibles. Para ello se analizará si en toda la gama de posibilidades para el periodo de tiempo Δt existen otros valores implicando una sola condición, es decir, circunstancias de no-interacción. Dado que ningún valor real implicaría eso, sólo se tendrá que admitir un Δt→∞ que conllevaría una situación semejante. Así, ΔE=0 y, consiguientemente, no existiría un campo que facilite la interacción entre objetos (la energía para el campo sería 0, siendo que a un campo se le asocia un valor de energía en sí mismo). Y las mismas conclusiones obtenidas para la situación Δt=0 son válidas y deducibles para la condición Δt→∞: la indecidibilidad de cualquier descripción de tal situación es vigente (incluida la descripción ΔE=0, que en efecto podría no ser ni cierta ni falsa en virtud de una energía de aberración cuyo cálculo fuese indecidible, aunque no así sus implicaciones gravitacionales). Por lo tanto, fenómenos que se lleven a cabo en periodos de tiempo “eternos” son indescriptibles por medio de teorías basadas en mediciones.

20 de Abril de 2014