Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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martes, 27 de mayo de 2014

EL TEOREMA DE ABEL. DEMOSTRACIÓN

De Alfredo Salvador C. García
Ciudad de México
 
Niels Abel. Antes de morir dejó
como legado al mundo la demostración
del teorema al cual se dedica este texto.


La demostración original –distinta a la aquí expuesta
 se encuentra en las Œuvres Complètes I de N. H. Abel.
 Otros trabajos relevantes de este matemático
se hallan en las Œuvres Complètes II.


***

Cada operación aritmética puede definirse como una función de tres números: dos números operantes (sean p y q) y un número característico (sea a). Así se obtiene:

1. Adición: O1(a1, p, q)=a1·(p+q), pudiendo ser p y q complejos –los reales también son complejos– y a1 solamente igual a 1.
2. Producto: O2(a2, p, q)=a2·(p·q), pudiendo ser p y q complejos y a2 solamente igual a 1.

Estas dos operaciones son fundamentales: no se requiere de otras operaciones para definir las presentes. Tampoco se define la potencia (pq) porque es fácilmente calculable a partir del producto, sin embargo se empleará en este texto.

3. División: O3(a3, p, q)=a3·(p/q), pudiendo ser p y q complejos (q distinto de 0) y a3 solamente igual a 1.
4. Raíz par: O4(a4, p, q)=a4·p√(q), pudiendo ser p número par, q complejo, y a4 ya sea igual a 1 ó igual a -1.
5. Raíz non: O5(a5, p, q)=a5·p√(q), pudiendo ser p número non, q complejo, y a5 solamente igual a 1.

Nótese la utilidad de a4 en la raíz par; porque ésta en principio permite obtener tanto el valor |p√(q)| como el valor -|p√(q)|. Con a4 se establece la posibilidad de que ambos valores puedan presentarse en forma de función de acuerdo a la operación O4.

***

Un polinomio

f(x)=k0·x0+k1·x1+k2·x2+...+kn-1·xn-1+ kn·xn

es, con las operaciones en su forma de función,

f(x)=O1(a1, O2(a2, k0, x0), O1(a1, O2(a2, k1, x1),
O1(a1, O2(a2, k2, x2), O1(a1, O2(a2, k3, x3), ...))))

hasta alcanzar el término O2(a2,kn,xn). Por esta forma adquirida, el polinomio puede representarse como una función de todos los números involucrados, es decir,

f(x)=f(a1, a2, k0, k1, k2, ..., kn, x)

Análogamente es deseable que con las operaciones disponibles se pueda obtener una función

x(f)=x(a1, a2, a3, a4, a5, k0, k1, k2, ..., kn, f)

que es la función inversa del polinomio –o en términos coloquiales, es deseable “despejar x”–. Este “despeje” se halla limitado por cada número de la función x. Si f puede tomar cualesquiera valores complejos –el polinomio no ofrece ninguna restricción al respecto–, y las ki son constantes, y a1, a2, a3, a5, son constantes –todas valen 1 solamente–, será a4 el valor que permita o impida obtener los resultados de x.

***

Si se halla la función inversa x(f), cuando f=0 ésta permite calcular las raíces del polinomio f. Se sabe que cuando n=1, el polinomio f tiene sólo una raíz –sólo existe un valor x(0) posible–.

Como x(0)=x(a1, a2, a3, a4, a5, k0, k1, 0) se plantea –y sólo a4 limita la cantidad de valores posibles para x–, a4 únicamente podría adquirir un valor y no dos (1 y -1); por ello se deduce que para el cálculo de la raíz x(0) –tampoco de la función inversa x(f)no se requiere de la raíz par –ni se requiere, por supuesto, del valor a4–.

En efecto, así es. Si f(x)=k1·x+k0, entonces x(f)=(f-k0)/k1.

Se ha observado la utilidad que puede representar conocer el comportamiento de a4. Conociendo sus alcances en el cálculo de la función inversa, es factible saber cuántas raíces se pueden calcular, o bien, si la función inversa se puede calcular.

Para n=2, se sabe que existen 2 valores posibles para la raíz x(0) –existen máximo n posibles raíces para un polinomio dado n en su último término kn·xn, así que el cálculo de raíces es x(0)=x(a1, a2, a3, a4, a5, k0, k1, 0) y en este caso a4 necesariamente presenta dos valores posibles, lo cual es cierto según se definió en la raíz par. Por ello se deduce que en el cálculo de x(0) para n=2 es necesaria la utilización de la raíz par. En efecto, así es. La fórmula general para la resolución de polinomios con n=2 contiene a la raíz cuadrada (p=2, que es par) como operación determinante en la obtención de los valores posibles de las raíces del polinomio en cuestión.

Para n=3, también se sabe de la existencia de una fórmula para el cálculo de x(0). Sin embargo, cuando se retoma x(0)=x(a1, a2, a3, a4, a5, k0, k1, 0), no concuerda la cantidad de raíces con la cantidad de valores permitidos por a4: según esto, serían dos raíces para un polinomio con n=3, no obstante el cálculo conocido incluye las tres raíces que implica n=3. La cuestión es que existe una operación no considerada al comienzo y que, no obstante, permite el cálculo de x(0) con tres valores posibles. Esta operación es la siguiente:

6. Raíz par II: O6(a6, p, q)=a6·p√(q), pudiendo ser p número par, q complejo, y a6 ya sea igual a 1, a 0 ó a -1.

Esto es, la raíz par II indica que puede emplearse a la raíz par para el cálculo de un resultado (con 1 y -1) o no (con 0). La raíz par II permite prescindir de esta operación con el solo hecho de que a6=0.

En la fórmula conocida para el cálculo de las tres raíces de un polinomio cuando n=3 –queda en el lector averiguar que efectivamente existe dicha fórmula– se calculan dos de las raíces considerando a la raíz par (con p=2) y la restante se calcula sin considerar a la raíz par. En todo caso, cada una de las operaciones podría tener un simil con la opción a prescindirse de ellas, pero no es necesario exponerlos: para los fines de esta demostración, sólo basta con saber que el máximo número de posibilidades para un número característico ai es 3, esto es, una opción positiva, otra negativa (ambas dadas para todas las raíces pares) y una más que prescinde de la operación.

No podrían existir más opciones porque no existen más operaciones aritméticas –a saberse– distintas a las ya señaladas (la substracción está incluida en la adición), y con las operaciones consideradas, el máximo número de posibilidades –obtenido para la raíz par– es 3. Las posibilidades de la potencia son las mismas que las posibilidades del producto. Incluso si se considerase al logaritmo para calcular las raíces de un polinomio, éste sólo tendría como máximo dos valores posibles de ai: 1 y 0 –si acaso–.

***

Cuando se conoce el valor de una raíz r1, se puede hipotetizar un valor d tal que permita calcular otra de las raíces por medio de la expresión r2=r1-d. Así, por ejemplo, cuando es un polinomio con n=2, se considera esta hipótesis y se obtiene

f(r1-d)=k2·(r1-d)2+k1·(r1-d)+k0=0

y 2·k2·r1+k1+k2·d=0

considerando que f(r1)=k2·r12+k1·r1+k0=0 –porque r1 es una raíz–. Hallar el valor d implica resolver la raíz del polinomio f(d) con n=1, cuyo cálculo ya ha sido expuesto. Por lo tanto, d se conoce y el hecho de conocer r2 sólo radicaría en que r1 pudiera ser calculado con una fórmula, para este caso, la fórmula general para la resolución de polinomios con n=2.

Entonces para toda fórmula que permita calcular x(0) con n dado, deben cumplirse necesariamente dos características fundamentales:

1) la fórmula para x(0) con n-1 dado debe de existir –para garantizar que conociendo una raíz se pueden calcular las demás–, y
2) la fórmula para calcular una de las raíces debe de existir.

En el caso particular de x(0) con n=3, se cumplen ambos requerimientos: 1) una de las raíces se puede calcular –y en su cálculo se puede considerar que a6=0–, y 2) existe la fórmula para x(0) con n=2 –que es la fórmula general para la resolución de ese tipo de polinomios–. Nótese que en la resolución de esa fórmula a6=1 y a6=-1 son válidos.

***

Ahora se procederá a demostrar el siguiente

Teorema. No es posible calcular aritméticamente –con operaciones aritméticas únicamente– la función inversa de polinomios con n mayor o igual a 5. (Teorema de Abel)

Demostración:

1. Si n=4, la función x(0)=x(a1, a2, a3, a4, a4', a5, k0, k1, 0) podría expresarse. Esto es, operar con la raíz par cada valor obtenido a partir de una función dependiente de la raíz par implica obtener la siguiente tabla de posibilidades para a4 y a4':

Raíz par 1 (a4) – Raíz par 2 (a4')
1                          -1
-1                          -1
1                            1
-1                           1

Por ejemplo, la raíz cuadrada de la raíz cuadrada de 2 –simbólicamente, √[√(2)]– permite obtener cuatro valores diferentes: √[√(2)], √[-√(2)], -√[√(2)] y -√[-√(2)]. Asimismo, si esta utilización múltiple de la raíz par se implementa para el cálculo de x(0), con a4 y a4' se obtendrían cuatro valores posibles de raíces en el caso de que exista dicho cálculo. En efecto, la fórmula de x(0) con n=4 existe y presenta las cuatro posibilidades de cálculo para cada raíz, esto debido a la implementación sucesiva de la raíz par, tal y como se sugirió al calcular el número de opciones posibles dados a4 y a4'.

2. Es condición necesaria para la existencia de una fórmula que permita calcular x(0) con n dada que

A. El número de opciones dadas las a4 ó a6 implicadas sea exactamente n, y
B. Exista la fórmula para el cálculo de x(0) con n-1 dada,

se cumplan. La primera parte de la condición expresa que si las opciones de cálculo no son las mismas tanto porque n se conozca –y deba haber n raíces posibles– como por las operaciones aritméticas con que se cuente, entonces no es posible asumir que exista la posibilidad de calcular aritméticamente las raíces.

Ocurrió con n=1 que a4 asumía sólo un valor, pero por definición de a4 tendrían que ser dos. Las opciones dada a4 no eran iguales en cantidad a n, por lo cual se dedujo que la operación correspondiente a a4 no formaba parte del cálculo de x(0) en ese caso. Asimismo, con otros valores de n se deberá asumir que las operaciones que impliquen a4 ó a6 no forman parte de la resolución de x(0). Y si ninguna de las operaciones con sus ai respectivas permite obtener una cantidad idéntica a n de valores posibles, entonces el cálculo aritmético de x(0) será ciertamente imposible. No ocurrió con n=1 porque existen otras operaciones con un único valor posible de ai que es idéntico a n=1.

La segunda parte de la condición, B, proviene de lo expresado anteriormente: es necesario que para n-1 pueda resolverse x(0) porque conociendo un valor de las raíces posibles de un polinomio con valor n, se tiene inmediatamente el cálculo aritmético de las restantes con la resolución del polinomio con valor n-1.

3. No es posible calcular aritméticamente x(0) con n=5.

Porque con n=5 no es posible cumplir la parte A de la condición en 2. Explícitamente, cuando se intenta hallar la cantidad de posibilidades de cálculo a partir de las ai, todas son o bien múltiplos de 2 –porque a4 tiene dos posibles valores–, ó bien de 3 –porque a6 tiene tres posibles valores–, ó de 6 –como consecuencia de a4 y a6 combinados–. Desde n=1 hasta n=4, los polinomios comparten alguna de esas características: n es divisible de 2, ó de 3. Sin embargo, n=5 por ser primo no comparte ninguna de esas características y, en consecuencia, no se cumple la parte A de la condición en 2 y, finalmente, se deduce que no existe el cálculo aritmético de x(0).

4. No es posible calcular aritméticamente x(0) con n mayor que 5.

Porque si con n=5 no existe la fórmula para el cálculo de x(0), mucho menos existe, según la parte B de la condición en 2, para n=6, ni desde luego para n=7, y por inducción para ningún valor n mayor que 5, incluso si cumplen la parte A de la condición en 2.

5. No es posible calcular aritméticamente x(0) con n mayor o igual a 5.

Que se obtiene de conjuntar lo deducido en 3 y en 4.

6. No es posible calcular aritméticamente la función inversa de los polinomios con n mayor o igual a 5.

Si x(0) no puede calcularse aritméticamente, dado que f=0 es sólo una sustitución sobre la función inversa x(f), en realidad el resultado es general para cualquier valor de f.


***

Unas reflexiones entorno a la demostración. Que el polinomio con n-1 no pueda resolverse implique que el polinomio con n tampoco pueda resolverse se basa en el argumento expuesto acerca de la diferencia d entre raíces. Esa diferencia está en términos de la resolución de un polinomio con n-1 y es una función de una raíz conocida calculada hipotéticamente con la resolución del polinomio con valor n. Si no es posible introducir esa resolución en una con n-1, entonces se está deduciendo que la diferencia d entre raíces no existe, lo cual es falso. Por ello la parte B de la condición en 2 de la demostración es necesaria.

Las posibilidades de cálculo se deben a las características de los números. Que la operación inversa a la raíz par permita obtener el mismo resultado tanto para un valor negativo como para un valor positivo realmente se debe a la naturaleza de los números complejos. Si existieran tres tipos de signos en los números, uno positivo, otro negativo y otro “z”, entonces existirían otras operaciones aritméticas y, finalmente, existirían mayores posibilidades de cálculo para las raíces de un polinomio. Ciertamente se requeriría de cuatro tipos de signos para la resolución de los polinomios con n=5: sólo así se podrían obtener las cinco opciones de cálculo necesarias –cuatro debidas a los signos y una prescindiendo de la operación que implique los cuatro signos–. Sin embargo, no es una condición suficiente. Se requerirían en realidad nuevas reglas de deducción y nuevas formas de análisis numérico para obtener una expresión que satisfaga el cálculo de la función inversa.

Aún así, en cuanto a las raíces, resulta totalmente posible obtenerlas con otros métodos matemáticos –especialmente de Análisis– aunque no sean únicamente aritméticos. El resultado tampoco garantiza que sea imposible determinar el valor de las raíces aritméticamente para algunos polinomios en particular. Por ejemplo, los polinomios de la forma

f(x)=k2·(xn)2+k1·(xn)+k0
o bien, f(x)=k2·x2·n+k1·xn+k0

son resolvibles por medio de la fórmula general de los polinomios con n=2, aunque n sea mayor o igual a 3 –y 2·n mayor a 5–. No obstante, en este caso sólo existen cuatro posibles raíces si n es par, y dos si n es non.

27 de Mayo de 2014
 
 

domingo, 25 de mayo de 2014

SOBRE LAS IMPLICACIONES LÓGICAS DE LAS MEDICIONES INTRÍNSECAMENTE IMPOSIBLES

De Alfredo Salvador C. García
Ciudad de México

Albert Einstein. Al plantear su Teoría de la Relatividad
observó inéditamente la trascendencia de los
observadores en las mediciones.


Se deduce de la ecuación de Schrödinger que las partículas libres, es decir, que las partículas sin la acción de fuerza neta alguna, pueden ser encontradas con igual probabilidad en cualquier región del espacio. Para corroborar que la predicción es correcta se procede a intentar medir una partícula que se sabe no está bajo la influencia de fuerza neta alguna.

Entonces, por ejemplo, se puede proyectar un fotón contra un átomo y con la energía suficiente se desprenderá un electrón de este último. El electrón desprendido no está bajo la influencia del átomo y, por consiguiente, el átomo no genera fuerza alguna sobre el electrón. Suponiendo que el electrón atraviesa una región con muchos átomos –como en una cámara de niebla–, sólo será posible saber que el electrón está sometido a una fuerza cuando éste al colisionar con uno de esos átomos provoque la emisión de radiación (una partícula). Mientras no sea observada la radiación –o sus efectos–, se asumirá que el electrón no interactúa con partícula alguna y, consiguientemente, que no se halla bajo la influencia de fuerza neta alguna, o bien, que es una partícula libre.

La experimentación ha mostrado que efectivamente existe igual probabilidad de encontrar una partícula libre en cualquier región del espacio. Esto significa que la radiación sería detectada desde cualquier parte de la cámara de niebla en igual número de ocasiones.

***

Habrá de notarse que se ha expresado que existe igual probabilidad de encontrar (de medir) a la partícula en cualquier región del espacio, pero jamás se ha expresado que la partícula esté presente en cualquier región del espacio. El asunto es sutil.

Encontrar una partícula es medirla. Cuando la partícula es medida, deja de ser una partícula libre. Así, lo deducido por medio de la ecuación de Schrödinger sólo cobra significado cuando la partícula deja de ser libre y no cuando ésta es libre. La ecuación de Schrödinger no expresa nada acerca de las partículas que están libres y no son encontradas (no son medidas).

¿Tiene demasiada relevancia esta aclaración? Sí. El hecho es que la Mecánica Cuántica planteada a partir de la ecuación de Schrödinger (y similares relativistas) no es capaz de mostrar qué ocurre cuando las partículas no son medidas.

Si son medidas, éstas dejan de ser libres para ser encontradas en distintas regiones del espacio, a menudo “prohibidas” por la Mecánica Clásica. Ello no es extraño: finalmente es un evento natural y como tal debe ser un evento ordinario. No obstante, si las partículas no son medidas, las partículas son libres y no se tiene información de ningún tipo –porque no se ha efectuado medición alguna– para aseverar qué ocurre con ellas al no presentarse la influencia de fuerza neta alguna. Aseverar algo al respecto sin la información necesaria resulta irracional.

Por supuesto, casi todas –si no es que todas– las predicciones que ha efectuado la Mecánica Cuántica se cumplen con asombrosa precisión: la Mecánica Cuántica es una teoría que parte de la evidencia experimental y necesariamente se espera que sea correcta al describir nueva evidencia experimental.

Sin embargo, la Mecánica Cuántica no ha sido planteada a partir de lo que no puede medirse, a las partículas en su estado de libertad. Se dice que es imposible medirse el estado de libertad de una partícula porque al realizarse la medición, la partícula carece de libertad ante las fuerzas que la influyen y ya no se está midiendo el estado de libertad, que es la circunstancia buscada. Entonces no es de esperarse que, en el mejor de los casos, la Mecánica Cuántica no pueda expresar algo al respecto. En el peor de los casos, podría expresar absurdos respecto al verdadero comportamiento de las partículas libres.

Así, no puede sugerirse que una partícula libre está al mismo tiempo abarcando todo el espacio mientras ésta no es medida. Sólo puede expresarse –y es lo que realmente expresa la matemática de la ecuación de Schrödinger ya resuelta– que una partícula libre puede ser detectada (puede interactuar con alguna otra partícula medidora) en cualquier región del espacio, pero, como es de esperarse, perdiendo su estado de libertad.

***

Que exista algo inherentemente inexplicable –el comportamiento de una partícula libre sin dejar de ser libre– por cualquier teoría que se valga de mediciones para ser corroborada –como la Mecánica Cuántica– quizá pueda resultar inquietante en primera instancia, pero como consecuencia lógica es una situación realmente ordinaria.

El teorema de Gödel ha confirmado que existen aseveraciones que no pueden deducirse ni verdaderas ni falsas. Así, cualquier aseveración acerca de las partículas libres no puede ser cierta porque no se tiene la medición necesaria para asegurar, primero, que las partículas sean realmente libres y, después, que las partículas tengan algún tipo de comportamiento.

En contraste, tampoco puede ser falsa cualquier aseveración acerca de las partículas libres dado que no se cuenta con la medición necesaria para asegurar, primero, que las partículas sean realmente libres y, después, que las partículas sigan un comportamiento distinto al aseverado.

Esta cuestión sobre el estado de libertad de una partícula no está en contra del principio de incertidumbre de Heisenberg. De acuerdo a éste, las mediciones tienen un grado de precisión en cuanto a las propiedades que miden. No obstante, el estado de libertad de una partícula sólo se presenta cuando no existe una medición, por lo cual el principio de Heisenberg no tiene relación alguna con ello, ni tiene nada que explicar al respecto: al igual que la ecuación de Schrödinger, sólo adquiere validez cuando ocurre una medición. Y también al igual que la ecuación de Schrödinger, el principio de Heisenberg presenta ese límite a su validez porque fue sugerido a partir de mediciones, nunca a partir de la condición de libertad que presenten las partículas.

***

Cuando dos partículas interactúan (una mide a la otra) y posteriormente dejan de interactuar (la medición mutua deja de llevarse a cabo), nada puede “saber” una de la otra. Asimismo, cuando dos partículas interactúan y se sabe que interactúan, significa que no sólo son medidas entre sí, sino que también miden la presencia de un medidor ajeno a ellas. El medidor, por su parte, está midiendo la existencia de ese par. Entonces, si posteriormente todo deja de interactuar entre sí –cada partícula y el medidor ajeno a ellas van por su cuenta–, el detector no sabe nada de las partículas: no sabe si están interactuando o no. Por supuesto, las partículas tampoco saben nada de la otra partícula ni del medidor ajeno a ellas.

Por lo tanto, nada puede aseverar el medidor ajeno a ellas respecto a lo que ocurre con el par: si asevera que el par está interactuando, su razonamiento es erróneo porque carece de una medición que corrobore la interacción de las partículas –ellas ya no están interactuando con el medidor ajeno–, incluso si realmente están interactuando. Si asevera que el par no está interactuando, también su razonamiento es erróneo porque carece de una medición que corrobore la falta de interacción de las partículas –se ha de recordar que no puede saberse si una partícula es libre, porque se requeriría una medición y para ello, la partícula deja de ser libre–, incluso si efectivamente no están interactuando.

Sólo cuando el medidor ajeno al par mide a alguna de las partículas, puede saber cuál es el comportamiento de la partícula en cuestión. Nada puede saber de la otra partícula a menos que también la mida. Y quizá con las mediciones elaboradas sobre ambas partículas pueda establecerse –o comprobarse– una ley de la Naturaleza que se refiera a los pares de partículas, pero habrá de tenerse mucho cuidado: esta ley, al igual que la ecuación de Schrödinger y el principio de Heisenberg, sólo será válida una vez ocurrida la medición: nunca podría aseverarse si esta ley también es válida cuando el par se halla libre respecto al medidor.

Un claro ejemplo de lo expuesto es el entrelazamiento cuántico. Cuando dos electrones interactúan y son medidos en su interacción, éstos se hallan con espines opuestos –uno ½ y el otro –. Cuando cada componente del sistema (los electrones y el medidor) deja de interactuar con los otros, es decir, cuando deja de existir interacción mutua, el medidor no puede saber cuál es el espín de los electrones. Sólo podrá saberlo cuando vuelva a medir a los electrones.

Si mide el espín de uno de ellos, existe igual probabilidad de que sea ½ o de que sea . Eso es lo que deduce la Mecánica Cuántica y es lo que se observa experimentalmente. Pero la Mecánica Cuántica también deduce que si el espín de uno de los electrones es ½, el espín del otro electrón cuando es medido debe ser necesariamente . Experimentalmente ello también ocurre.

No obstante, jamás se aseveró que el espín del otro electrón fuese sólo por haber medido al primer electrón. Se aseveró –y es lo que expresa la Matemática– que el espín del otro electrón es cuando ambos electrones son medidos. Si uno de ellos no está siendo medido, su espín no se puede conocer, incluso conociendo el espín del otro.

¿Tiene alguna importancia aclarar esto? Sí. Porque asumir que inmediatamente el espín del otro electrón sea el complementario –lo cual significa que si uno vale ½ el otro necesariamente vale – tras haber medido a uno de los electrones implicaría que existe una interacción cuya información del espín desde un electrón hasta el otro sea transferida a “velocidad infinita”. Podría asumirse que ello ocurre, pero se estarían violando consecuencias fundamentales de la Teoría de la Relatividad (de A. Einstein), misma que, al igual que la Mecánica Cuántica, ha sido corroborada correcta en todos los experimentos realizados al momento. Particularmente, esta teoría señala que la velocidad de la luz es un límite máximo a la velocidad con que puede llevarse a cabo una interacción entre partículas –en este caso, entre los electrones–.

Por el contrario, asumir que la complementariedad de espines se da sólo cuando se miden ambas partículas no da pie a pensar que exista una interacción de “velocidad infinita”, sino que las partículas posiblemente no cambiaron de espines desde que la interacción cesó, cuando sus espines ya eran complementarios. Así, sin que sus espines cambiaran de valor, el medidor tendría la certeza al instante de la medición de que el espín de uno de los electrones fuese ½. Al medir el espín del otro electrón mediría, por supuesto, que su valor es de , pero no porque el primer electrón le “avisara” inmediatamente su valor de espín para que el segundo lo cambiase, sino porque sus espines nunca habrían cambiado de valor incluso después de la interacción.

Se resaltó la palabra «posiblemente» en el párrafo anterior porque mientras el medidor no logre medir a los electrones del par, no puede aseverar nada al respecto. Si bien la idea sugerida parece ajustarse con el fenómeno experimental, nunca se ha logrado medir si en verdad el espín no cambia, o si desaparece y vuelve aparecer cuando se vuelve a medir a los electrones, o cualquier otra opción. Sin embargo, sí es posible estar seguros de que la Mecánica Cuántica está limitada sólo a los instantes en que las partículas son medidas. Y según ella los espines de los electrones que son medidos deben ser complementarios, lo cual es cierto.

***

Recientemente se han sugerido experimentos que revelan más acerca de la naturaleza del entrelazamiento cuántico, que no sólo corresponde a los electrones. Se llama «entrelazamiento» a la complementariedad de las propiedades entre partículas que han cesado de interactuar. Los fotones también pueden estar entrelazados, y practicamente podrían estar entrelazadas cualesquiera partículas.

Los resultados recientes sugieren que, primero, los fotones se hayan entrelazados a una velocidad de interacción que no es “infinita”, sino finita y mucho mayor a la velocidad de la luz. También se sugerido que los fotones pueden hallarse entrelazados con múltiples átomos a la vez.

El primer resultado parece contradecir a la Mecánica Cuántica porque en ella no se especifica que la velocidad de interacción deba ser finita, sino por el contrario, se ha interpretado que debe ser inherentemente infinita. Sin embargo, el solo hecho de referirse a una velocidad de interacción entre partículas es erróneo: como se ha mostrado con los electrones, tampoco puede saberse siquiera si los fotones están interactuando porque al momento del cese de interacción con los fotones no se efectúa medición alguna acerca de ellos, ni se tiene información que permita aseverar algo al respecto. Si ha sido posible aseverarse que dos fotones están entrelazados con una velocidad de interacción finita ha sido más porque la medición de un fotón respecto a otro no es simultánea, que por la naturaleza misma del fenómeno.

Concretamente, se ha mencionado que anteriormente la interacción entre fotones se creía simultánea, pero que no se había considerado el análisis de los marcos de referencia para declarar que efectivamente la interacción fuese simultánea. De cualquier modo, el entrelazamiento sólo es válido en sus predicciones teóricas una vez efectuada la medición de los dos fotones, y no cuando sólo haya sido medido uno de ellos –al no medirse el otro nada puede aseverarse sobre la complementariedad (se carece de información al respecto)–.

En cuanto al segundo resultado referente al entrelazamiento de los átomos con un fotón, la explicación es semejante a las anteriores. Esto es, se deja libre un fotón. Luego, unos átomos comienzan a cambiar sus propiedades repentinamente, al mismo tiempo y de forma complementaria (como los electrones y sus espines), presumiblemente a causa de la presencia del fotón que antes era libre. Sin embargo, se dice que el fotón no debería estar interactuando con todos los átomos –porque el experimento ha sido diseñado para obtener a priori esta limitante–, sino con uno a la vez, y por ello se asume que se da un fenómeno de transferencia de información a velocidad “infinita” entre cada átomo debido al fotón.

No obstante, existen algunas observaciones que se deben notar. Primeramente, una vez que el fotón es libre se carece de información que permita aseverar algo acerca de su comportamiento como partícula libre. De tal forma que incluso no se sabe si realmente los fotones –y en general las partículas– siguen respetando las leyes de la Física mientras su estado de libertad se presenta. En segundo lugar, el fotón libre no es vuelto a medir: lo que se mide es al observador del fotón, esto es, se miden los cambios de los átomos con los cuales interactúa. ¿Puede aseverarse algo sobre el comportamiento de los fotones sólo por observación indirecta? No. Sólo podría aseverarse que el comportamiento de un fotón es uno dado respecto a los átomos porque tanto átomos como fotón sean medidos, de la misma forma que sólo puede asegurarse que los espines de dos electrones son complementarios cuando ambos son medidos.

Hay que recordar que cualquier explicación a un fenómeno está restringida a ser válida únicamente cuando se llevan a cabo mediciones, puesto que cualquier explicación sólo es válida –sólo es posible asumirla verdadera– a partir de las mediciones que se hayan efectuado para comprobarla. Si se pretende explicar qué ocurre cuando no se lleva a cabo ninguna medición, es seguro que se obtengan absurdos: careciéndose de información experimental, no puede generarse ninguna ley sobre aquello que no se está midiendo. Tampoco es lógicamente viable complementar los experimentos con suposiciones sobre lo que se podría medir aunque no se lleve a cabo la medición: eso es equivalente a modificar arbitrariamente los datos experimentales.

Consiguientemente, mientras el fotón no sea medido, sólo pueden establecerse leyes y verificarse predicciones que efectúe la Mecánica Cuántica (o cualquier otra teoría) acerca de los átomos –porque éstos sí son medidos–, pero nunca acerca del fotón. Si logra deducirse algo acerca del fotón a partir de las leyes que se refieren a los átomos, dicha deducción será cuestionable porque nunca se ha medido al fotón para corroborar la validez plena de la deducción. Igualmente, si logra deducirse algo acerca de los átomos a partir del fotón, y además se corrobora válido lo deducido, no podrá aseverarse que lo referido acerca del fotón sea cierto: lógicamente, que la explicación se ajuste casualmente no significa que no existan otras posibles explicaciones que también se ajusten casualmente –de lo contrario, se estaría presentando un caso de Modus Ponendo Ponens mal empleado–.

***

Es necesario que se observen los principios más fundamentales que sigue la Naturaleza si se desean obtener predicciones correctas acerca de sus comportamientos. Paradojas como EPR carecen de sentido una vez que se ha aclarado que existe un límite de validez para las teorías que pretendan llevar a cabo una explicación, para el caso, una acerca de los electrones entrelazados.

En general, carece de sentido cualquier observación teórica respecto a aquello que no se esté midiendo, como ocurre con el muy difundido gato de Schrödinger. Mientras no sea medido el átomo del cual depende la vida del gato, realmente no se sabe nada sobre éste. No es posible saber si realmente está vivo, o muerto, o si tiene otro comportamiento, dado que sin mediciones se carece de la información para aseverarlo. Ha sido un error considerar que el gato esté vivo y muerto al mismo tiempo porque jamás podría medirse al gato en esas circunstancias donde éste no es observado directamente, de la misma forma que se desconoce el comportamiento del fotón y sólo pueden observarse los átomos que están entrelazados.

No obstante, esto no significa que, en contraste, la interpretación de Copenhague sea equivocada. Y no lo es en cuanto se refiere que es imposible conocer el futuro dado que es imposible medir con completa exactitud el presente –esto último según el principio de Heisenberg–. Eso es cierto y compatible con las ideas aquí expuestas: dado que el futuro no puede ser medido –todas las mediciones son llevadas a cabo en el presente– nada puede saberse a nivel teórico acerca de éste, a menos que se consideren hipótesis para lograrlo. La interpretación de Copenhague es correcta siempre y cuando sólo se refiera a aquello que puede medirse, pero nunca cuando se refiera a aquello que no puede medirse, es decir, a las partículas libres.

Casos paradójicos como el entrelazamiento de dos electrones, uno dentro de un agujero negro y otro fuera de él, pueden resolverse considerando que el electrón dentro del agujero no puede ser medido –porque el agujero está “separado” del Universo–. Entonces ni la Mecánica Cuántica ni la Teoría de la Relatividad (ni cualquier otra teoría) pueden aseverar con certeza nada respecto a dicho electrón, apenas del electrón que se encuentra fuera del agujero. En tales circunstancias no es posible saber –dada la inherente falta de información– si los electrones realmente están entrelazados o no.

Finalmente, cabe concluir lo siguiente: para asegurar que una idea teórica es correcta, es necesario no olvidar que está limitada a las condiciones de interacción (o de medición) entre partículas. Así, todos sus resultados sólo pueden referirse con certeza a interacciones (o mediciones), pero jamás a las partículas libres.

25 de Mayo de 2014
 
[Esta entrada participa en la LII Edición del Carnaval de la Física alojado por @torjosagua en el blog La Enciclopedia Galáctica]