Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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viernes, 18 de julio de 2014

COHERENCIA

Este poema procura
ser limitado a sí mismo:
sus versos son las verdades
de lo que expresen consigo.

Al terminarse el poema,
cuando se intenten más versos
que lo compongan presuntos,
se ignoran falsos o ciertos.

18 de Julio de 2014

[Esta entrada participa en la XI Edición del Carnaval de Humanidades alojado por @ScientiaJMLN en el blog SCIENTIA]

Sobre el Teorema de Gödel: un siguiente verso que intentase formar parte del poema «Coherencia» y dijese, por ejemplo «Uno más uno, igual a dos», es verdadero en sí mismo (en efecto, 1+1=2), pero falso si pretende formar parte del poema (porque «Este poema procura ser limitado a sí mismo»). El verso quedaría tanto falso como cierto.

Otro verso que intentase formar parte del mismo poema, por ejemplo «Uno más uno, igual a tres», es falso en sí mismo (en efecto, 1+1=3 es falso), pero verdadero si pretende formar parte del poema (porque «sus versos son las verdades de lo que expresen consigo»). El verso también quedaría tanto falso como cierto.

Como ambas situaciones -ser falso y ser cierto- son contradictorias estando juntas a la vez, un siguiente verso, sea cierto o sea falso, no puede conocerse ni cierto ni falso (de ahí que «se ignoran falsos o ciertos»). En ello consiste el teorema de Gödel: existen verdades y falsedades cuyo carácter de verdad o falsedad no es posible conocerlo.

Finalmente, no es posible conocer si el poema «Coherencia» es absolutamente coherente (aunque parezca que lo es): un siguiente verso diciendo «El poema Coherencia es coherente», ya sea falso o verdadero, también es susceptible de «se ignoran falsos o ciertos». Una consecuencia del teorema de Gödel es que ninguna forma de razonamiento puede probar su propia coherencia, aunque la misma exista.
 
 

miércoles, 16 de julio de 2014

EL TEOREMA FUNDAMENTAL DEL ANÁLISIS (O DEL CÁLCULO)

  
Bernhard Riemann, el matemático que definió
por vez primera y con formalidad suficiente
el valor de la integración.


El texto puede leerse desde este vínculo en formato pdf: El teorema fundamental del Análisis (o del Cálculo).

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16 de Julio de 2014