Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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lunes, 27 de octubre de 2014

SOBRE LA RELACIÓN ENTRE LAS RAÍCES DEL POLINOMIO GRADO 2 Y SUS COEFICIENTES


A continuación, el siguiente:

Teorema. Sea un polinomio de raíz dada, entonces la raíz del polinomio
con los coeficientes invertidos en su orden es el recíproco de la raíz del
primer polinomio. (Teorema de la raíz recíproca, 2 de Octubre de 2011)

Se demostrará la validez de lo anterior para un polinomio de grado 2. El mismo razonamiento se sigue para los polinomios de grado n:

1. a·x2+b·x+c=0, es el polinomio de grado 2. La raíz de este polinomio es x.

2. c·z2+b·z+a=0, que es el polinomio con los coeficientes invertidos en su orden. Según el Teorema, la raíz de este polinomio es 1/x. Esto es,

3. c·(1/x)2+b·(1/x)+a=0, satisface la ecuación.

4. c+b·x+a·x2=0, efectuando el producto de la expresión en 3 con el factor x2.

5. a·x2+b·x+c=0, sin alterar esencialmente la expresión en 4 (el orden de los sumando no altera el total).

Si suponiendo en 3. que el Teorema era cierto se obtuvo de forma equivalente la expresión en 1., entonces siendo cierta 1. es necesariamente cierta 3.


La demostración anterior permite la siguiente deducción:

1. La raíz del polinomio a·x2+b·x+c=0 se calcula como

x=[-b+(b2-4·a·c)½]/(2·a).

También se calcula como x=[-b-(b2-4·a·c)½]/(2·a).

2. La raíz del polinomio c·z2+b·z+a=0 se calcula como

z=[-b+(b2-4·a·c)½]/(2·c).

También se calcula como z=[-b-(b2-4·a·c)½]/(2·c).

3. Según el Teorema, z=1/x, porque ambos polinomios son de coeficientes invertidos en su orden uno respecto al otro.

4. Eso implica lo siguiente:

x=[-b+(b2-4·a·c)½]/(2·a)=2·c/[-b-(b2-4·a·c)½].

5. También implica lo siguiente:

x=[-b-(b2-4·a·c)½]/(2·a)=2·c/[-b+(b2-4·a·c)½].

Lo expresado en 4. y 5. no es necesariamente obvio, por lo cual se demostrará que, en efecto, es correcto:

6. Para 4., [-b+(b2-4·a·c)½]·[-b-(b2-4·a·c)½]=4·a·c, es válido, al convertir en factores los denominadores.

7. Luego, b2-b2+4·a·c=4·a·c se deduce al efectuar el producto, o bien, 4·a·c=4·a·c, que es realmente cierto (por ser una identidad), lo cual demuestra que lo expresado en 4. es igualmente cierto.

Con un procedimiento análogo se demuestra la veracidad de la expresión en 5.

Entonces, del Teorema de la raíz recíproca se observa el siguiente

Corolario. Para un polinomio de grado 2, a·x2+b·x+c=0, es posible
calcular sus raíces con las expresiones a continuación:

x=[-b+(b2-4·a·c)½]/(2·a)=2·c/[-b-(b2-4·a·c)½], y
x=[-b-(b2-4·a·c)½]/(2·a)=2·c/[-b+(b2-4·a·c)½]


Con ello se pretende hacer notar que la fórmula general para la resolución de polinomios grado 2, es decir, la expresión x=[-b+(b2-4·a·c)½]/(2·a) ó x=[-b-(b2-4·a·c)½]/(2·a), tiene un equivalente algebraico, es decir, x=2·c/[-b-(b2-4·a·c)½] ó x=2·c/[-b+(b2-4·a·c)½], respectivamente, mostrándose que no es tan única (como así se ha expuesto al público en general durante bastante tiempo) la primera forma.

27 de Octubre de 2014


domingo, 26 de octubre de 2014

HIPÓTESIS: EL TEOREMA DE PITÁGORAS


Pitágoras, en cuya escuela surgió
el teorema que lleva su nombre.


ACOTACIONES

A partir de la siguiente figura,


arbitraria en cuanto a sus dimensiones, apenas representativa, se demostrará verdadera la

Hipótesis. Para todo triángulo rectángulo, el cuadrado de la hipotenusa –lado frente al ángulo recto (de 90°)– es igual a la suma de los cuadrados de los catetos –los lados restantes–.

Expresado con símbolos de acuerdo a la figura, se tiene como hipótesis

MN2=NQ2+MQ2, para ΔMNQ,
NQ2=NP2+PQ2, para ΔNPQ, y
MQ2=MP2+PQ2, para ΔMPQ,

porque los triángulos citados son rectángulos. Siendo sus dimensiones arbitrarias, la demostración será válida para todos los triángulos rectángulos, como la hipótesis enuncia. Se subraya a los segmentos de recta para expresar que se está calculando de acuerdo a su longitud.

Asimismo, se cuenta con la

Tesis. Los ángulos ∡MQP y ∡MNQ son iguales;
también los ángulos ∡NQP y ∡PMQ lo son.

Esto porque, según la figura, para el triángulo ΔMNQ, ∡MQP+∡NQP=90°. Luego, para ΔNPQ, ∡MNQ+∡NQP+∡NPQ=180° porque la suma de los ángulos internos de un triángulo suman siempre 180°. No obstante, ∡NPQ=90°, pues ΔNPQ es un triángulo rectángulo. Entonces, ∡MNQ+∡NQP+90°=180°, o bien, ∡MNQ+∡NQP=90°.

De todo ello,

 ∡MQP+∡NQP-(∡MNQ+∡NQP)=90°-(∡MNQ+∡NQP)=90°-90°=0°

y reduciendo términos semejantes, queda ∡MQP-∡MNQ=0°, es decir, ∡MQP=∡MNQ, que es finalmente la observación hecha por la tesis. Con argumentos similares es posible deducir ∡NQP=∡PMQ.

Para simplificar la expresión de los ángulos, será en adelante ∡MQP=∡MNQ=α.


DEMOSTRACIÓN

1. MN2=NQ2+MQ2, considerando que la hipótesis sea verdadera.
2. (MP+NP)2=NQ2+MQ2, porque el segmento MN es igual a la suma de sus partes, MP y NP.
3. MP2+2·MP·NP+NP2=NQ2+MQ2, desarrollando el binomio cuadrado.
4. MP2+2·MP·NP+NP2=(NP2+PQ2)+(MP2+PQ2), porque siendo verdadera la hipótesis, NQ2 y MQ2 son expresados en términos de la suma de sus partes.
5. MP·NP=PQ2, reduciendo términos semejantes.
6. MP/PQ=PQ/NP, válido por la expresión anterior.

Como, de acuerdo con la tesis, MP/PQ=tan(α) para ΔMPQ, y PQ/NP=tan(α) para ΔMPQ,

7. tan(α)=tan(α), lo cual es realmente verdadero.

Así, obteniendo una expresión realmente verdadera partiendo de que la hipótesis era verdadera, debe ser esta última correcta.


20 de Octubre de 2014