Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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viernes, 2 de enero de 2015

SOBRE LAS IMPLICACIONES DE LA «REGLA DE LA CADENA»


En la imagen, una parte de las demostraciones presentes en el texto Sobre las implicaciones de la «regla de la cadena», que es posible leer y descargar ingresando al vínculo.

Para abrir los vínculos del texto (en azul), dé click derecho sobre ellos -desde el archivo pdf- para «Copiar la dirección del vínculo» (o «Copy link adress»).

3 de Enero de 2015

 

jueves, 1 de enero de 2015

CUESTIONANDO LA FE

 George Boole, autor de «Laws of thought».

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El planteamiento de la Lógica hecho formalmente a partir de los matemáticos Frege, Russell y Peano, principalmente, supone una manera sistematizada para averiguar si una expresión es verdadera o falsa. Por definición se establecen reglas deductivas –seis fundamentales– que permiten saber si un resultado final es verdadero o falso según la veracidad o falsedad de las expresiones de partida.

La siguente es una de las reglas más fundamentales: ¬(¬A)→A. Esto significa que si se niega la negación, entonces se obtiene la afirmación. Y si la negación es verdadera, negarla debe ser lo contrario, es decir, falsa.

Esta forma de pensar –deductiva entorno a la verdad– es conocida como racional. Algunos matemáticos, coétaneos a los primeros mencionados, intentaron demostrar que la Lógica deducía solamente expresiones lógicas. Gödel expuso como parte de su tesis doctoral en 1930 que, efectivamente, toda expresión lógica es deducible a partir de otras expresiones lógicas y, por consiguiente, que toda expresión lógica puede ser analizada en su carácter veraz o falaz. Un esbozo de demostración es el siguiente:


1. Se supone la expresión

«Existe aquello que es inexpresable mediante razonamientos lógicos».

2. Como requisito necesario, aquello «inexpresable» carecería de una palabra –al menos– para poder expresarlo.

3. Sin embargo, la expresión en 1. incluye las palabras suficientes para referirse a lo «inexpresable».

4. Por lo tanto, suponer que hay cosas inexpresables por medios lógicos (con palabras y razonamientos deductivos –incluyendo los presentados desde 1. hasta 4.–) conlleva absurdos: «lo inexpresable realmente es expresable» es un absurdo.

5. Si tal argumento conlleva absurdos, entonces es falso que «Existe aquello que es inexpresable mediante razonamientos lógicos».


La demostración original es más precisa –emplea métodos matemáticos formales– aunque permite obtener un resultado semejante: No existen expresiones que no puedan ser parte de un razonamiento lógico. Y cada expresión puede categorizarse, en consecuencia, como verdadera o falsa.

Se deduce directamente que los misterios (según el diccionario, cosas incomprensibles) pueden realmente evaluarse a través de la Lógica: si permiten la deducción de absurdos, entonces son falsos; si no permiten –a saberse– la deducción de absurdos, quedan tentativamente verdaderos.

Gödel demostró años después que ontológicamente Dios podría existir. Esto es, que la expresión «Dios existe» no lleva aparentemente a absurdos lógicos. Sin embargo, el mismo Gödel lo aclaró, mientras no pueda asegurarse absolutamente que dicha expresión no lleva a absurdos lógicos, tampoco puede considerarse que sea verdadera. Años antes Gödel había demostrado el teorema por el cual es más famoso, y se enuncia así:

«Siendo coherente un sistema de razonamiento, existen expresiones lógicas que aun siendo verdaderas o falsas no pueden ser deducidas como tales.»

Esto en 1931. Así, siendo coherentes no pueden conocerse por deducción todas las verdades ni, por lo mismo, que el sistema de razonamiento sea reconocido plenamente coherente. Por ejemplo, el mismo Gödel lo hizo notar, la expresión

«La Matemática no lleva a absurdos
(o La Matemática es plenamente coherente)»

no puede deducirse ni verdadera ni falsa. Si fuese posible demostrarla verdadera, entonces, curiosamente, la Matemática llevaría a absurdos. Esto por el siguiente razonamiento: la Matemática deduciría que es coherente en todo lo que expresa, pero debería ser coherente también con el teorema de Gödel –porque éste fue deducido mediante argumentos matemáticos–. Entonces la Matemática debería incluir un absurdo dado que se ha asumido que es plenamente coherente, siendo esto último, sin embargo, por el teorema de Gödel imposible saberlo cierto. Dicho absurdo sería que «La Matemática resulta incoherente».

Si, al contrario, fuese posible demostrar falsa la expresión señalada, la Matemática quedaría incoherente porque contradeciría al teorema de Gödel , mismo que fue deducido a partir de argumentos matemáticos. No obstante, la Matemática no ha permitido –a la fecha– deducir absurdos, lo cual lleva a pensar que en realidad no es incoherente en lo que expresa. Como la única forma de obtenerla incoherente es asumiendo que es verdadera o asumiendo que es falsa la expresión «la Matemática no lleva a absurdos», ésta debe ser ignota en su carácter veraz o falaz para garantizar que la Matemática sea realmente coherente –aunque no sea posible deducirlo, por supuesto, tampoco saberlo con certeza plena–.

En resumen, la Matemática y, según deduce Gödel, cualquier estudio que emplee la Lógica, presenta expresiones imposibles de conocerse plenamente verdaderas o falsas, aunque lo sean. La Matemática parece ser plenamente coherente, pero no es posible deducirlo. Y aunque ese pensamiento, que «la Matemática no lleva a absurdos», puede razonarse lógicamente (intentando averiguar su carácter veraz o falaz) tal y como lo garantiza el teorema de 1930, realmente queda como una clase de misterio. Pero, a diferencia de los misterios ordinarios, éste acerca de la coherencia plena de la Matemática es cuestionable y nada prohíbe en la Naturaleza que pueda uno preguntarse lógicamente si es verdadero o falso, aunque no haya respuesta posible a la pregunta.

Este misterio no se ha establecido por decreto, sino por la razón. No dependió de un hombre que ese misterio fuese dogma de fe, inamovible, sino que fue por las preguntas de Gödel –que cualquiera puede plantearse– que se descubrió el misterio sobre la plena coherencia de la Matemática y de cualquier estudio que utilice a la Lógica. Gödel demostró –en cierto modo– a través de la razón que emplear a la Matemática, y en general a la Lógica, para estudiar a la Naturaleza y conocer nuestro Universo es un acto de fe: creer en la evidencia y en la existencia misma de la verdad y la falsedad. Creer de esa forma no implica que no se pueda cuestionar en lo que se cree: cuestionar incluso esa creencia permite descubrir que, en efecto, esa creencia es un acto de fe porque existen misterios propios de la Naturaleza, no por designios humanos. Todo ello, no obstante, permitiendo que la frase «Dios existe» pueda ser tentativamente verdadera, aunque también posiblemente falsa, y quizá de veracidad o falsedad inescrutables, como lo es para la coherencia plena de la Matemática.

El teorema de Gödel de 1931 lleva a pensar que estamos limitados por emplear la Lógica, pero, con el teorema de 1930, nos lleva a pensar que es la misma Lógica nuestra única forma de aprehender la verdad, si es que resulta aprehensible. Así es la naturaleza de nuestros pensamientos. No es causalidad que George Boole, descubridor de las reglas de deducción lógica a través de métodos algebraicos –a diferencia de Aristóteles que empleó métodos filosóficos– haya llamado a la obra donde expuso sus resultados «Laws of thought» (Leyes del pensamiento); esta obra empleada después para la programación computacional.

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Y ¿cuál es mi fe? Al igual que el cristiano y el budista, que islamista o el sintoista, o el metodista, siento que mi fe es la única y la verdadera. Que creer en la evidencia y en la razón es el camino. Pienso que es así, pero a diferencia de las anteriores, sé que es posible demostrar la reivindicación de mis creencias sin acudir a dogmas arbitrarios, sino a métodos naturales –puesto que la evidencia y la razón proceden de la Naturaleza–.

No se requiere de mártires, sin embargo nos congregamos los que así creemos en la evidencia. No se requieren cuotas, pero las pagaría tan solo para estudiar –en escuelas, en bibliotecas, o en cualquier parte– las formas básicas del razonamiento. Tampoco se tienen dogmáticamente Biblias, ni Coranes, ni libros de Mormón, pero es necesario escribir libros de Física, de Química y de Matemática para intentar entender lo que otros han descubierto y que muy probablemente sea la verdadera explicación de una parte del Universo.

Quizá mi fe no sea diferente de las restantes, pero estoy dispuesto a dejarme engañar por la Lógica y por la experimentación porque, de hecho, la Lógica no miente ni los experimentos tendrían motivos para hacerme un engaño.

28 de Mayo de 2014

Última corrección:
1 de Enero de 2015