«Yo,
Joseph Raphson de Londres, admito y acuerdo para y con el
Presidente, el Consejo y los miembros de la Real Sociedad de
Londres la mejora del conocimiento sobre la Naturaleza»
·
Sea
una función f(x) continua en todos sus puntos. Se busca
de ella el valor de la raíz x = a, es decir, que se cumpla f(a)
= 0.
Siendo
para g(x) = x-a que g(a) = 0, es posible expresar lo
siguiente:
1.
límx→a
f(x)/g(x) = límx→a
fx(x)/gx(x),
por la regla de L'Hôpital (Regla
de L'Hôpital. Demostración,
1 de Febrero de 2015) en virtud de que f(a) = 0,
g(a) = 0
y tanto f
como g
son continuas en todos sus puntos.
2.
límx→a f(x)/(x-a) = límx→a
fx(x), porque gx(x)
= 1.
3.
f(a+δ)/[(a+δ)-a]-ε
= fx(a+δ)-ε',
calculando los límites representados en 2.
[Lo
que involucra el límite,
20 de Julio de 2013]
4.
f(xk)/(xk-xk+1)-ε
= fx(xk)-ε',
si se representa xk = a+δ y xk+1
= a, estando xk “antes” que xk+1,
de forma convencional.
5.
xk+1 = xk-f(xk)/[fx(xk)+ε-ε'],
se deduce de la expresión en 4., observando dependiente
xk+1 de xk.
6.
xk+1 = xk-f(xk)/fx(xk),
porque aritméticamente nada impide que ε
y ε' sean iguales con algún valor δ.
Esta
última expresión indica la posibilidad de calcular un
valor xk+1 = a partiendo de otro xk
= a+δ distinto al primero. Sin embargo, se desconoce cuál
sea el valor xk que dirija inmediatamente el
cálculo hacia xk+1 = a, la
raíz de f(x).
Por
tal motivo se sugiere que siendo xk+1 ≠
a, éste sea considerado como un nuevo xk
pretendiendo calcular finalmente xk+1 =
a.
Esto
porque al existir el caso donde xk permite
calcular de forma inmediata xk+1, se
observaría la misma tendencia entre cualesquiera xk
y xk+1 previos que no presentaran dicha
característica, donde |xk+1-a|
sea menor que |xk-a|, de manera
sucesiva hasta que finalmente |xk+1-a|
= 0, el menor valor posible.
Ello
es una suposición, no obstante, de ser cierta terminaría
por garantizar que se logre observar el caso donde efectivamente xk+1
= a. En otras palabras, porque la sugerencia permite obtener como
conclusión la validez en la expresión en 6, es
considerada también válida. Y porque existen pruebas
sobre la veracidad de la suposición, se asumirá en
adelante que es cierta en todos los casos, aunque existe la
posibilidad de demostrar en qué casos no sea así, o
bien, que efectivamente la sugerencia sea correcta en todos los casos
donde f(x) sea continua en todos sus puntos.
Resumiendo:
es posible calcular la raíz de una función f(x)
continua en todos sus puntos, valiéndose de la expresión
en 6., partiendo de un x0 que permita
calcular un x1, luego de éste un x2,
y así sucesivamente hasta un xk+1
= a, que sería la raíz buscada puesto que f(a) =
0. Esta secuencia de pasos es conocida como el método
de Newton-Raphson.
·
Por
ejemplo, se calculará el número π hallando una
de las raíces de la función f(x) = sen(x), porque se sabe que
sen(π) = 0. Así,
1.
xk+1
= xk-sen(xk)/cos(xk),
retomando la expresión en 6.,
siendo la derivada fx(x)
= cos(x)
[La
derivada de las funciones seno y coseno,
1 de Febrero de 2015]
2.
xk+1 = xk-tan(xk),
porque la función tangente está dada convencionalmente como tan(x) =
sen(x)/cos(x).
Se
partirá de un valor x0 = 3
para calcular x1. Así se selecciona
de entre la gran variedad de números reales porque se conoce
de antemano que π ronda un valor aproximado de 3. Si
se eligiera x0 = 6, el resultado
final sería otro, es decir, 2·π.
Esto
porque la derivada es un límite que sólo describe el
comportamiento de la función f(x)
entorno a x
por medio de x+h,
y mientras h
sea cada vez mayor (no cumpliéndose que h→0),
la función será descrita deficientemente. [El
teorema fundamental del Análisis,
16 de Julio de 2014]. Para el caso, la diferencia entre π
(que se conoce aproximadamente como 3.14)
y 6
es mucho mayor que la diferencia entre π
y 3,
y por ello es que x0
= 3
permite calcular π,
no así x0
= 6.
3.
x1 = x0-tan(x0),
o bien, x1 = 3-tan(3) y queda x1
= 3.14255. Nótese que inicialmente se ha calculado la
primera aproximación dada de π como 3.14; sin
embargo, no es el valor de la raíz buscada porque sen(3.14255)
= -0.00095. Entonces se sigue con
4.
x2 = x1-tan(x1),
o bien, x2 = 3.14255-tan(3.14255) y
queda calculado el valor x1 = 3.14159. Porque
sen(3.14159) = 0.00000, se dice encontrada la raíz
siendo π = 3.14159.
Aquello
es sólo de una estimación a 5
dígitos. Con 6 cifras decimales sen(3.14159) =
0.000003, lo cual muestra que
el cálculo no es fundamentalmente correcto. Aun así es
un valor aproximado aceptable siempre que se requiera conocer
únicamente 5 cifras del número π.
Además,
este ejemplo evidencia que la naturaleza del método es tal
como se predijo.
Del
2 al 7 de Febrero de 2015
A
las 00.05
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