Teorema de incompletitud de Gödel


Kurt F. Gödel, en «Sobre las proposiciones formalmente indecidibles de los Principia Mathematica y sistemas afines» [paráfrasis]:

«Existen argumentos lógicos imposibles de ser deducidos verdaderos o falsos; entre ellos, la coherencia de dichos razonamientos.»

La existencia verdadera o falsa de algo (por ejemplo, las piedras; al contrario, las hadas), no implica que la misma sea demostrable así, ni que deba o no tenerse fe en cualquiera de estas posibilidades.

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La creatividad surge de hallar –pensando diferente del resto– ideas absurdas, para así nuevamente pensarlas y darles coherencia.

Ahí la importancia de la Lógica: porque sólo con ella es posible tanto hallar los absurdos como obtener la coherencia.

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viernes, 6 de febrero de 2015

EL MÉTODO DE NEWTON-RAPHSON



«Yo, Joseph Raphson de Londres, admito y acuerdo para y con el Presidente, el Consejo y los miembros de la Real Sociedad de Londres la mejora del conocimiento sobre la Naturaleza»

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Sea una función f(x) continua en todos sus puntos. Se busca de ella el valor de la raíz x = a, es decir, que se cumpla f(a) = 0.

Siendo para g(x) = x-a que g(a) = 0, es posible expresar lo siguiente:

1. límx→a f(x)/g(x) = límx→a fx(x)/gx(x), por la regla de L'Hôpital (Regla de L'Hôpital. Demostración, 1 de Febrero de 2015) en virtud de que f(a) = 0, g(a) = 0 y tanto f como g son continuas en todos sus puntos.

2. límx→a f(x)/(x-a) = límx→a fx(x), porque gx(x) = 1.

3. f(a+δ)/[(a+δ)-a]-ε = fx(a+δ)-ε', calculando los límites representados en 2. [Lo que involucra el límite, 20 de Julio de 2013]

4. f(xk)/(xk-xk+1)-ε = fx(xk)-ε', si se representa xk = a+δ y xk+1 = a, estando xk “antes” que xk+1, de forma convencional.

5. xk+1 = xk-f(xk)/[fx(xk)+ε-ε'], se deduce de la expresión en 4., observando dependiente xk+1 de xk.

6. xk+1 = xk-f(xk)/fx(xk), porque aritméticamente nada impide que ε y ε' sean iguales con algún valor δ.

Esta última expresión indica la posibilidad de calcular un valor xk+1 = a partiendo de otro xk = a+δ distinto al primero. Sin embargo, se desconoce cuál sea el valor xk que dirija inmediatamente el cálculo hacia xk+1 = a, la raíz de f(x).

Por tal motivo se sugiere que siendo xk+1 ≠ a, éste sea considerado como un nuevo xk pretendiendo calcular finalmente xk+1 = a.

Esto porque al existir el caso donde xk permite calcular de forma inmediata xk+1, se observaría la misma tendencia entre cualesquiera xk y xk+1 previos que no presentaran dicha característica, donde |xk+1-a| sea menor que |xk-a|, de manera sucesiva hasta que finalmente |xk+1-a| = 0, el menor valor posible.

Ello es una suposición, no obstante, de ser cierta terminaría por garantizar que se logre observar el caso donde efectivamente xk+1 = a. En otras palabras, porque la sugerencia permite obtener como conclusión la validez en la expresión en 6, es considerada también válida. Y porque existen pruebas sobre la veracidad de la suposición, se asumirá en adelante que es cierta en todos los casos, aunque existe la posibilidad de demostrar en qué casos no sea así, o bien, que efectivamente la sugerencia sea correcta en todos los casos donde f(x) sea continua en todos sus puntos.

Resumiendo: es posible calcular la raíz de una función f(x) continua en todos sus puntos, valiéndose de la expresión en 6., partiendo de un x0 que permita calcular un x1, luego de éste un x2, y así sucesivamente hasta un xk+1 = a, que sería la raíz buscada puesto que f(a) = 0. Esta secuencia de pasos es conocida como el método de Newton-Raphson.

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Por ejemplo, se calculará el número π hallando una de las raíces de la función f(x) = sen(x), porque se sabe que sen(π) = 0. Así,

1. xk+1 = xk-sen(xk)/cos(xk), retomando la expresión en 6., siendo la derivada fx(x) = cos(x) [La derivada de las funciones seno y coseno, 1 de Febrero de 2015]

2. xk+1 = xk-tan(xk), porque la función tangente está dada convencionalmente como tan(x) = sen(x)/cos(x).

Se partirá de un valor x0 = 3 para calcular x1. Así se selecciona de entre la gran variedad de números reales porque se conoce de antemano que π ronda un valor aproximado de 3. Si se eligiera x0 = 6, el resultado final sería otro, es decir, 2·π.

Esto porque la derivada es un límite que sólo describe el comportamiento de la función f(x) entorno a x por medio de x+h, y mientras h sea cada vez mayor (no cumpliéndose que h→0), la función será descrita deficientemente. [El teorema fundamental del Análisis, 16 de Julio de 2014]. Para el caso, la diferencia entre π (que se conoce aproximadamente como 3.14) y 6 es mucho mayor que la diferencia entre π y 3, y por ello es que x0 = 3 permite calcular π, no así x0 = 6.

3. x1 = x0-tan(x0), o bien, x1 = 3-tan(3) y queda x1 = 3.14255. Nótese que inicialmente se ha calculado la primera aproximación dada de π como 3.14; sin embargo, no es el valor de la raíz buscada porque sen(3.14255) = -0.00095. Entonces se sigue con

4. x2 = x1-tan(x1), o bien, x2 = 3.14255-tan(3.14255) y queda calculado el valor x1 = 3.14159. Porque sen(3.14159) = 0.00000, se dice encontrada la raíz siendo π = 3.14159.

Aquello es sólo de una estimación a 5 dígitos. Con 6 cifras decimales sen(3.14159) = 0.000003, lo cual muestra que el cálculo no es fundamentalmente correcto. Aun así es un valor aproximado aceptable siempre que se requiera conocer únicamente 5 cifras del número π.

Además, este ejemplo evidencia que la naturaleza del método es tal como se predijo.

Del 2 al 7 de Febrero de 2015
A las 00.05


domingo, 1 de febrero de 2015

LÍMITE DEL COCIENTE ENTRE EL SENO Y EL ÁNGULO CUANDO ÉSTE TIENDE A CERO

Donde se demuestra que límφ→0 sen(φ)/φ=1.


 


Fragmento de la demostración.


La demostración parte de argumentos intuitivos, geométricos, independientes del uso de la regla de L'Hôpital.


1 de Febrero de 2015.
Texto: 2 de Enero de 2015.


LA DERIVADA DE LAS FUNCIONES SENO Y COSENO

Teorema 1. La derivada de la función seno es la función coseno.


Demostración.

1. f(x) = sen(x), expresando la función seno.

2. fx(x) = límh→0 [sen(x+h)-sen(x)]/h, porque la derivada se define

fx(x) = límh→0 [f(x+h)-f(x)]/h.

3. fx(x) = límh→0 [sen(x)·cos(h)+sen(h)·cos(x)-sen(x)]/h, desarrollando el seno de la suma, considerando la identidad

sen(a+b)=sen(a)·cos(b)+sen(b)·cos(a)

4. fx(x) = límh→0 {sen(x)·[cos(h)-1]+sen(h)·cos(x)}/h, agrupando términos semejantes.

5. fx(x) = límh→0 {sen(x)·[cos(h)-1]/h+sen(h)·cos(x)/h}, que es equivalente a la anterior.

6. fx(x) = límh→0 sen(x)·[cos(h)-1]/h+límh→0 sen(h)·cos(x)/h, porque el límite de la suma es igual a la suma de límites [Lo que involucra el límite, 20 de Julio de 2013].

7. fx(x) = límh→0 sen(x)·límh→0 [cos(h)-1]/h+
+límh→0 sen(h)/h·límh→0 cos(x),

porque el límite del producto es igual al producto de límites.

8. fx(x) = límh→0 sen(x)·0+1·límh→0 cos(x),

porque límh→0 [cos(h)-1]/h=0 y límh→0 sen(h)/h=1. Posteriormente se demostrará que los límites son correctos.

9. fx(x) = límh→0 cos(x), de acuerdo con lo anterior. Finalmente,

10. fx(x) = cos(x), porque el límite de una constante (cos(x) no depende de h y es constante para dicha variable) es igual a la constante misma. Esto demuestra el Teorema 1.


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Teorema 2. La derivada de la función coseno
es el recíproco aditivo de la función seno.


Demostración.

1. f(x) = cos(x), expresando la función coseno.

2. fx(x) = límh→0 [cos(x+h)-cos(x)]/h, porque la derivada se define

fx(x) = límh→0 [f(x+h)-f(x)]/h

3. fx(x) = límh→0 [cos(x)·cos(h)-sen(h)·sen(x)-cos(x)]/h, desarrollando el coseno de la suma, considerando la identidad

cos(a+b)=cos(a)·cos(b)-sen(b)·sen(a).

4. fx(x) = límh→0 {cos(x)·[cos(h)-1]-sen(h)·sen(x)}/h, agrupando términos semejantes.

5. fx(x) = límh→0 {cos(x)·[cos(h)-1]/h-sen(h)·sen(x)/h}, que es equivalente a la anterior.

6. fx(x) = límh→0 cos(x)·[cos(h)-1]/h-límh→0 sen(h)·sen(x)/h, porque el límite de la suma es igual a la suma de límites.

7. fx(x) = límh→0 cos(x)·límh→0 [cos(h)-1]/h+
 -límh→0 sen(h)/h·límh→0 sen(x),

porque el límite del producto es igual al producto de límites.

8. fx(x) = límh→0 cos(x)·0-1·límh→0 sen(x),

porque límh→0 [cos(h)-1]/h=0 y límh→0 sen(h)/h=1. Posteriormente se demostrará que los límites son correctos.

9. fx(x) = -límh→0 sen(x), de acuerdo con lo anterior. Finalmente,

10. fx(x) = -sen(x), porque el límite de una constante (sen(x) no depende de h y es constante para dicha variable) es igual a la constante misma. Esto demuestra el Teorema 2.


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Como se mencionó en 8 para ambos teoremas, se demostrará que los límites mencionados son correctos:

Teorema 3. Se cumple límh→0 [cos(h)-1]/h = 0.


Demostración.

1. f(h) = cos(h)-1, se define. Asimismo, g(h) = h.

2. fh(h) = -sen(h), considerando de f(h) que la derivada de la suma es igual a la suma de las derivadas [La derivada de la función exponencial del límite «e», 27 de Noviembre de 2011; Teorema 2]. Para el caso, la derivada de cos(h) es, según el Teorema 2, -sen(h); aparte, la derivada de -1 es 0.

3. gh(h) = 1, que es la derivada de g(h) = h.

4. límh→0 f(h)/g(h) = límh→0 fh(h)/gh(h), siempre y cuando f(0) = 0 y g(0) = 0, además de que f y g sean continuas en todos sus puntos, según la regla de L'Hôpital [Regla de L'Hôpital. Demostración, 1 de Febrero de 2015]. Por ello, siendo f(h)=cos(h)-1 y g(h)=h se cumplen ambos requisitos y

5. límh→0 [cos(h)-1]/h = límh→0 -sen(h)/1, es válido.

6. límh→0 [cos(h)-1]/h = -sen(0)/1, que es posible porque -sen(h) es continua en todos sus puntos. O bien,

7. límh→0 [cos(h)-1]/h = 0, porque sen(0) = 0. Con ello se demuestra el Teorema 3.


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Análogamente será para el

Teorema 4. Se cumple límh→0 sen(h)/h = 1.


Demostración.

1. f(h) = sen(h), se define. Asimismo, g(h) = h.

2. fh(h) = cos(h), porque la derivada de sen(h) es, según el Teorema 1, cos(h).

3. gh(h) = 1, que es la derivada de g(h) = h.

4. límh→0 f(h)/g(h) = límh→0 fh(h)/gh(h), siempre y cuando f(0) = 0 y g(0) = 0, además de que f y g sean continuas en todos sus puntos, según la regla de L'Hôpital. Por ello, siendo f(h)=sen(h) y g(h)=h se cumplen ambos requisitos y

5. límh→0 sen(h)/h = límh→0 cos(h)/1, es válido.

6. límh→0 sen(h)/h = cos(0)/1, que es posible porque cos(h) es continua en todos sus puntos. O bien,

7. límh→0 sen(h)/h = 1, porque cos(0) = 1. Con ello se demuestra el Teorema 4.


1 de Febrero de 2015,
a las 19.28
 
 

REGLA DE L'HÔPITAL. DEMOSTRACIÓN


Johannes Bernoullidemostrador
de la regla de L'Hôpital


Teorema. Sean dos funciones f y g continuas
en todos sus puntos, tales que f(a)=0 y g(a)=0.

Entonces

límx→a f(x)/g(x) = límx→a fx(x)/gx(x)
se cumple (Regla de L'Hôpital)

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Demostración:

1. fx(x)/gx(x) = {límh→0 [f(x+h)-f(x)]/h}/{límh→0 [g(x+h)-g(x)]/h}, por la definición de la derivada [El teorema fundamental del Análisis (o del Cálculo), 16 de Julio de 2014],

2. fx(x)/gx(x) = límh→0 {[f(x+h)-f(x)]/h}/{[g(x+h)-g(x)]/h}; porque el cociente de límites es igual al límite del cociente [Lo que involucra el límite, 20 de Julio de 2013].

3. fx(x)/gx(x) = límh→0 [f(x+h)-f(x)]/[g(x+h)-g(x)], efectuando el cociente, simplificando.

4. límx→a fx(x)/gx(x) = límx→a límh→0 [f(x+h)-f(x)]/[g(x+h)-g(x)], representando el cálculo del límite cuando x→a.

5. límx→a fx(x)/gx(x) = límh→0 límx→a [f(x+h)-f(x)]/[g(x+h)-g(x)], porque se cumple la igualdad

límx→a lím y→b f(x,y) = límy→b lím x→a f(x,y),
27 de Noviembre de 2014; Teorema 3]

6. límx→a fx(x)/gx(x) = límh→0 [f(a+h)-f(a)]/[g(a+h)-g(a)], siempre y cuando existan f(a) y f(a+h), lo mismo que g(a) y g(a+h), no importando el valor de h, situación que se garantiza cuando tanto f como g son continuas en todos sus puntos, de acuerdo a la definición de continuidad [Lo que involucra el límite, 20 de Julio de 2013].

7. límx→a fx(x)/gx(x) = límh→0 f(a+h)/g(a+h), si es que f(a)=0 y g(a)=0 (segunda parte de la condición en la regla de L'Hôpital).

8. límx→a fx(x)/gx(x) = límh→0 límx→a f(x+h)/g(x+h), que es posible porque tanto f como g son continuas en todos sus puntos.

9. límx→a fx(x)/gx(x) = límx→a límh→0 f(x+h)/g(x+h), por lo mencionado en 5.

10. límx→a fx(x)/gx(x) = límx→a f(x)/g(x), nuevamente porque f y g son continuas en todos sus puntos. O,

11. límx→a f(x)/g(x) = límx→a fx(x)/gx(x), que es la regla de L'Hôpital,
sin olvidar las especificaciones necesarias dadas en 6 y 7.


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Para finalizar, un ejemplo. Se calculará límx→2 (x2-4)/(x-2) de forma independiente a la regla de L'Hôpital y posteriormente haciendo uso de ella, obsérvandose que es realmente válida.

1. límx→2 (x2-4)/(x-2) = límx→2 (x+2)·(x-2)/(x-2), factorizando el numerador.

2. límx→2 (x2-4)/(x-2) = límx→2 (x+2), efectuando el cociente.

3. límx→2 (x2-4)/(x-2) = 4, porque la función x+2 es continua en todos sus puntos, puede solamente sustituirse x por 2; y queda calculado el límite, independientemente de la regla de L'Hôpital.

Aparte, se calculará el mismo límite considerando la regla.

Nótese que f(x) = x2-4, g(x) = x-2, siendo ambas continuas en todos sus puntos (pueden calcularse f, g, y los límites respectivos para cualquier valor de x, además de que los límites son iguales a los valores f y g). Asimismo, f(2) = 0, g(2) = 0, y con lo anterior indica que es posible emplear la regla de L'Hôpital. Entonces

1. límx→2 (x2-4)/(x-2) = límx→2 2·x/1, porque fx(x)=2·x y gx(x)=1, como lo requiere la regla.

2. límx→2 (x2-4)/(x-2) = límx→2 2·x, simplificando, y límx→2 (x2-4)/(x-2) = 2·2, sustituyendo x por 2 dado que 2·x es continua en todos sus puntos. Finalmente,

3. límx→2 (x2-4)/(x-2) = 4, que es idéntico al valor calculado previamente.

1 de Febrero de 2015,
de las 12.51 a las 13.42